Em cada item, calcule a integral.
integraly^2 y 6 x y(x+y) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integraly^2y6,x,y,(x+y),dx
Tratando y como constante e integrando em relação a x, vamos usar a propriedade da linearidade da integral e a regra de potência para polinômios.

Passo 2

Primeiro expandimos o integrando:
6,x,y,(x+y) =6y,(x^2 + yx)

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
integral 6y,x^2,dx =6ycdotx^33 =2y,x^3,
integral 6y,(y,x),dx =6y^2cdotx^22 =3y^2,x^2
Logo uma antiderivada é
F(x)=2y,x^3+3y^2,x^2

Passo 4

Avaliamos de x=y até x=2y:
F(2y)-F(y) = l(2y,(2y)^3 + 3y^2,(2y)^2r) - l(2y,y^3 + 3y^2,y^2r)
Calculemos cada parte:
2y,(2y)^3 =2ycdot8y^3=16y^4, 3y^2,(2y)^2=3y^2cdot4y^2=12y^4,
2y,y^3=2y^4, 3y^2,y^2=3y^4
Portanto
F(2y)-F(y) =(16y^4+12y^4)-(2y^4+3y^4) =28y^4-5y^4 =23y^4

Resposta

integraly^2y6,x,y,(x+y),dx = 23y^4

Exercícios relacionados