Calcule a derivada da função
g(x)=ll x^3 sen(1x), & se x neq 0 0, & se x=0
em todos as pontos possiveis.

Passo 1

Temos a função definida por
g(x)= x^3sin!l(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0
Queremos encontrar g'(x) em todos os pontos. Para xneq0 usaremos regra do produto e cadeia; em x=0 usaremos a definição de derivada pelo limite.

Passo 2

Para xneq0 escrevemos g(x)=u(x),v(x) com u(x)=x^3 e v(x)=sin!l(tfrac1xr). Então
u'(x)=3x^2, v'(x)=cos!l(tfrac1xr)cdotl(-tfrac1x^2r)=-cos!l(tfrac1xr)x^2
Pela regra do produto,
g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =3x^2sin!l(tfrac1xr)+x^3l(-tfraccos!l(tfrac1xr)x^2r) =3x^2sin!l(tfrac1xr)-xcos!l(tfrac1xr)

Passo 3

Em x=0 usamos
g'(0)=limhto0g(h)-g(0)h =limhto0h^3sin!l(tfrac1hr)h =limhto0h^2sin!l(tfrac1hr)
Como l|h^2sin(1/h)r|<= h^2to0, pelo critério do confronto segue que
g'(0)=0

Resposta

g'(x)= 3x^2sin!l(tfrac1xr)-xcos!l(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0

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