Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
f(x, y)=x^2+y^2+x^2 y+4
na região
D=(x, y) in R^2 /-1 <= x <= 1,-1 <= y <= 1

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x,y)=x^2+y^2+x^2y+4
no quadrado fechado
D=(x,y)inR^2mid -1<= x<=1,,-1<= y<=1
O conteúdo envolve otimização em duas variáveis: vamos achar pontos críticos no interior via gradiente nulo e depois checar as arestas de D.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
partial fpartial x=2x+2xy=2x(1+y), partial fpartial y=2y+x^2
No interior, igualamos a zero:
2x(1+y)=0, 2y+x^2=0
Da primeira equação vem x=0 ou y=-1. Se x=0, então 2y+0=0 implica y=0. Se y=-1, a segunda dá 2(-1)+x^2=0Rightarrow x^2=2, fora de [-1,1]. Logo o único crítico em D é (0,0).

Passo 3

Para classificar, usamos o Hessiano em (0,0):
fxx=2+2y|(0,0)=2, fyy=2, fxy=2x|(0,0)=0
Como det2&00&2=4>0 e fxx=2>0, é mínimo local. E
f(0,0)=0+0+0+4=4

Passo 4

Analisando as arestas x=pm1 com -1<= y<=1:
f(pm1,y)=1+y^2+1cdot y+4=y^2+y+5
Defina g(y)=y^2+y+5. Então
g'(y)=2y+1=0Rightarrow y=-tfrac12in[-1,1]
Calculando
g(-tfrac12)=tfrac14-tfrac12+5=tfrac194=4,75, g(-1)=1-1+5=5, g(1)=1+1+5=7
Logo nessas arestas ocorre mínimo 4,75 em (pm1,-tfrac12) e máximo 7 em (pm1,1).

Passo 5

Agora as arestas y=pm1 com -1<= x<=1:
– Para y=1:
f(x,1)=x^2+1+x^2cdot1+4=2x^2+5,
que tem mínimo 5 em x=0 e máximo 7 em x=pm1.
– Para y=-1:
f(x,-1)=x^2+1-x^2+4=5
é constante, valendo 5 em toda a aresta.

Passo 6

Reunindo valores:
– Interior: mínimo em (0,0) com f=4.
– Fronteira: menores 4,75 e maiores 7.
Portanto o mínimo absoluto é 4 em (0,0) e o máximo absoluto é 7 nos pontos (1,1) e (-1,1).

Resposta

O valor mínimo absoluto é 4 em (0,0).
O valor máximo absoluto é 7 em (1,1) e (-1,1).

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