Resolva a equação de Helmholtz unidimensional:
d^2 ud x^2+k^2 u=0
com condições de contorno u(0)=0, u(L)=0.
Explique em que contextos físicos essa equação aparece.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária unidimensional
d^2udx^2 + k^2u = 0
com as condições de contorno u(0)=0 e u(L)=0.
O conteúdo é a solução de autovalores e autovetores de uma equação de Sturm–Liouville, que surge ao separar variáveis na equação da onda ou no problema de cavidade ressonante.

Passo 2

Encontramos primeiro a solução geral da equação homogênea. A equação
u'' + k^2u = 0
tem solução clássica dada por
u(x) = A cos(kx) + B sin(kx),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições de contorno.

Passo 3

Aplicamos a condição u(0)=0:
u(0) = A cos(0) + B sin(0) = A = 0
Logo a solução reduz-se a
u(x) = B sin(kx)
Agora a condição u(L)=0 exige
u(L) = B sin(kL) = 0
Para uma solução não trivial ( Bneq0), precisamos
sin(kL) = 0 Longrightarrow kL = npi, n=1,2,3,dots
portanto
kn = npiL

Passo 4

Os modos próprios (funções–propriedades) são, até constante de normalização,
un(x) = Bn,sin!l(tfracnpiL,xr),
com n=1,2,3,dots. Cada n gera um autovalor kn e um modo vibracional un(x).

Passo 5

Essa equação de Helmholtz aparece em vários contextos físicos quando se busca modos estacionários de uma equação de onda ou difusão harmônica, por exemplo:
bul<=t Modos normais de vibração de uma corda com extremidades fixas.
bul<=t Ressonância acústica em dutos e cavidades (tubos de órgão, microfones).
bul<=t Campos eletromagnéticos estacionários em cavidades e guias de onda.
bul<=t Solução estacionária da equação de Schr"odinger para uma partícula em uma “caixa” unidimensional.

Resposta

Os autovalores e autofunções são
kn = npiL, un(x) = Bn,sin!l(npiL,xr), n=1,2,3,dots,
onde Bn é uma constante de normalização.

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