Resolva a equação de Helmholtz unidimensional:
com condições de contorno
.
Explique em que contextos físicos essa equação aparece.
Explique em que contextos físicos essa equação aparece.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária unidimensional
com as condições de contorno
e
.
O conteúdo é a solução de autovalores e autovetores de uma equação de Sturm–Liouville, que surge ao separar variáveis na equação da onda ou no problema de cavidade ressonante.
O conteúdo é a solução de autovalores e autovetores de uma equação de Sturm–Liouville, que surge ao separar variáveis na equação da onda ou no problema de cavidade ressonante.
Passo 2
Encontramos primeiro a solução geral da equação homogênea. A equação
tem solução clássica dada por
onde
e
são constantes a determinar pelas condições de contorno.
Passo 3
Aplicamos a condição
:
Logo a solução reduz-se a
Agora a condição
exige
Para uma solução não trivial (
), precisamos
portanto
Passo 4
Os modos próprios (funções–propriedades) são, até constante de normalização,
com
. Cada
gera um autovalor
e um modo vibracional
.
Passo 5
Essa equação de Helmholtz aparece em vários contextos físicos quando se busca modos estacionários de uma equação de onda ou difusão harmônica, por exemplo:
Modos normais de vibração de uma corda com extremidades fixas.
Ressonância acústica em dutos e cavidades (tubos de órgão, microfones).
Campos eletromagnéticos estacionários em cavidades e guias de onda.
Solução estacionária da equação de Schr"odinger para uma partícula em uma “caixa” unidimensional.
Resposta
Os autovalores e autofunções são
onde
é uma constante de normalização.