Em cada item, calcule os pontos críticos da função dada, e em seguida use o Teste da Derivada Primeira ou Segunda para classificar este ponto crítico em ponto de mínimo local, máximo local, ou nem de mínimo e nem de máximo.
(f)
(f)
Passo 1
Primeiro, resumimos o enunciado: temos a função
, e precisamos encontrar os pontos críticos (onde
ou não existe) e, em seguida, usar o Teste da Derivada Primeira ou Segunda para decidir se é mínimo, máximo ou nenhum dos dois.
Passo 2
Para achar a derivada, escrevemos
e aplicamos a regra da cadeia:
Passo 3
Em seguida, determinamos os pontos críticos resolvendo
e vendo onde
não está definida. Como
para todo
, só temos solução de
em
.
Passo 4
Para classificar, usamos o Teste da Segunda Derivada. Calculamos
Passo 5
Avaliando em
:
Passo 6
Como
, a concavidade é para baixo em
, indicando um máximo local.
Resposta
O único ponto crítico é
, que é um ponto de máximo local (com
).