Em cada item, calcule os pontos críticos da função dada, e em seguida use o Teste da Derivada Primeira ou Segunda para classificar este ponto crítico em ponto de mínimo local, máximo local, ou nem de mínimo e nem de máximo.
(f) f(x)=1x^2+3

Passo 1

Primeiro, resumimos o enunciado: temos a função f(x)=1x^2+3, e precisamos encontrar os pontos críticos (onde f'(x)=0 ou não existe) e, em seguida, usar o Teste da Derivada Primeira ou Segunda para decidir se é mínimo, máximo ou nenhum dos dois.

Passo 2

Para achar a derivada, escrevemos f(x)=(x^2+3)^-1 e aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=-1cdot(x^2+3)^-2cdot2x=,-2x(x^2+3)^2

Passo 3

Em seguida, determinamos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0 e vendo onde f' não está definida. Como (x^2+3)^2>0 para todo x, só temos solução de f'(x)=0 em x=0.

Passo 4

Para classificar, usamos o Teste da Segunda Derivada. Calculamos
f''(x)=6(x^2-1)(x^2+3)^3

Passo 5

Avaliando em x=0:
f''(0)=6(0^2-1)(0^2+3)^3=-627=-29<0

Passo 6

Como f''(0)<0, a concavidade é para baixo em x=0, indicando um máximo local.

Resposta

O único ponto crítico é x=0, que é um ponto de máximo local (com f(0)=1/3).

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