(valior 4,0 ponton) Considere a função f definida por:
Calcule as derivadas parciais primeiras f(x, y)=l x^1 y^2x^2+y^2, sen(x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0) e fz em ( 0,0 );

Passo 1

Resumo do enunciado e planejamento: temos a função
f(x,y)= x^1y^2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo é derivadas parciais em um ponto, e vamos precisar usar as definições de derivada parcial via limite.

Passo 2

Definição da derivada parcial em (0,0): para a variável x, a derivada parcial é dada por
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h
e para a variável y por
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k

Passo 3

Cálculo de f_x(0,0): ao fixar y=0 e x=h≠0, temos
f(h,0)=hcdot0^2h^2+0^2=0
Logo,
fx(0,0)=limhto00-0h=0

Passo 4

Cálculo de f_y(0,0): ao fixar x=0 e y=k≠0, temos
f(0,k)=0cdot k^20+k^2=0
Logo,
fy(0,0)=limkto00-0k=0

Resposta

f_x(0,0)=0 e f_y(0,0)=0

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