Em cada item, calcule os pontos críticos da função dada, e em seguida use o Teste da Derivada Primeira ou Segunda para classificar este ponto crítico em ponto de mínimo local, máximo local, ou nem de mínimo e nem de máximo.
(e) (f(x)=\frac{3}{4} \cdot\left(x{2}-1\right){\frac{2}{3}}’
(e) (f(x)=\frac{3}{4} \cdot\left(x{2}-1\right){\frac{2}{3}}’
Passo 1
O enunciado pede para a função
a identificação dos pontos críticos (onde
ou
não existe) e, em seguida, a classificação desses pontos usando o Teste da Derivada Primeira.
Passo 2
Para obter
, usamos a regra da cadeia. Seja
. Então
logo
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
e de onde
não existe, mas
existe. Temos
e
Passo 4
Para o Teste da Derivada Primeira, analisamos o sinal de
nos intervalos:
-
e ⇒ (decrescente). -
e ⇒ (crescente). -
e ⇒ (decrescente). -
e ⇒ (crescente).
Resposta
Os pontos críticos e suas classificações são:
•
:
muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local (
).
•
:
muda de positivo para negativo ⇒ máximo local (
).
•
:
muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local (
).