Em cada item, calcule os pontos críticos da função dada, e em seguida use o Teste da Derivada Primeira ou Segunda para classificar este ponto crítico em ponto de mínimo local, máximo local, ou nem de mínimo e nem de máximo.
(e) (f(x)=\frac{3}{4} \cdot\left(x{2}-1\right){\frac{2}{3}}’

Passo 1

O enunciado pede para a função f(x)=34(x^2-1)^2/3 a identificação dos pontos críticos (onde f'=0 ou f' não existe) e, em seguida, a classificação desses pontos usando o Teste da Derivada Primeira.

Passo 2

Para obter f'(x), usamos a regra da cadeia. Seja u=x^2-1. Então
f(x)=34u^2/3,
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f'(x)=34cdot23u^-1/3cdotdudx = 12u^-1/3cdot2x = x,(x^2-1)^-1/3

Passo 3

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 e de onde f' não existe, mas f existe. Temos
f'(x)=0implies x=0,
e f'(x) não existe quando x^2-1=0, ou seja, x=pm1, mas f(pm1)=0 é bem definida. Portanto os pontos críticos são x=-1,;0,;1

Passo 4

Para o Teste da Derivada Primeira, analisamos o sinal de f'(x)=x,sgn(x^2-1) nos intervalos:
  • x<-1: x<0 e x^2-1>0 f'<0 (decrescente).
  • -1 x<0 e x^2-1<0 f'>0 (crescente).
  • 0 x>0 e x^2-1<0 f'<0 (decrescente).
  • x>1: x>0 e x^2-1>0 f'>0 (crescente).

Resposta

Os pontos críticos e suas classificações são:
x=-1: f' muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local ( f(-1)=0).
x=0: f' muda de positivo para negativo ⇒ máximo local ( f(0)=3/4).
x=1: f' muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local ( f(1)=0).

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