Calcule as seguintes integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
O conteúdo aqui é frações parciais para racional própria e, depois, integração termo a termo (logaritmos e arctan). Para começar, vamos fatorar o denominador e montar a decomposição.
Passo 2
Fatoramos
logo
Montamos então
Multiplicando ambos os lados por
e comparando coeficientes em
, obtemos o sistema que leva a
Portanto
Passo 3
Integramos termo a termo:
-
. -
. -
4. Para , escrevemos
e separamos
A primeira parte dá
.
Na segunda, completamos o quadrado:
Na segunda, completamos o quadrado:
de modo que
Passo 4
Somando todos os resultados, obtemos
Podemos combinar os logaritmos: