Calcule as seguintes integrais.
\int \frac{x^{4}+8 x^{3}-x^{2}+2 x+1}{\left(x^{2}+x\right)\left(x^{3}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{4}+8x^{3}-x^{2}+2x+1}{(x^{2}+x)(x^{3}+1)}\,dx.
O conteúdo aqui é frações parciais para racional própria e, depois, integração termo a termo (logaritmos e arctan). Para começar, vamos fatorar o denominador e montar a decomposição.

Passo 2

Fatoramos
x^{2}+x = x(x+1), \quad x^{3}+1 = (x+1)(x^{2}-x+1),
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(x^{2}+x)(x^{3}+1) = x\,(x+1)^{2}(x^{2}-x+1).
Montamos então
\frac{x^{4}+8x^{3}-x^{2}+2x+1}{x\,(x+1)^{2}(x^{2}-x+1)} = \frac{A}{x} +\frac{B}{x+1} +\frac{C}{(x+1)^{2}} +\frac{Dx+E}{x^{2}-x+1}.
Multiplicando ambos os lados por x(x+1)^{2}(x^{2}-x+1) e comparando coeficientes em x^4,x^3,x^2,x,1, obtemos o sistema que leva a
A=1,\quad B=-2,\quad C=3,\quad D=2,\quad E=0.
Portanto
\frac{x^{4}+8x^{3}-x^{2}+2x+1}{(x^{2}+x)(x^{3}+1)} = \frac{1}{x} -\frac{2}{x+1} +\frac{3}{(x+1)^{2}} +\frac{2x}{x^{2}-x+1}.

Passo 3

Integramos termo a termo:
  1. \displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx = \ln\!\bigl|x\bigr|.
  2. \displaystyle\int-\frac{2}{x+1}\,dx = -2\ln\!\bigl|x+1\bigr|.
  3. \displaystyle\int\frac{3}{(x+1)^{2}}\,dx = -\frac{3}{x+1}. 4. Para \displaystyle\int\frac{2x}{x^{2}-x+1}\,dx, escrevemos
2x = (2x-1)+1,
e separamos
\int\frac{2x-1}{x^{2}-x+1}\,dx + \int\frac{1}{x^{2}-x+1}\,dx.
A primeira parte dá
\displaystyle \ln\!\bigl(x^{2}-x+1\bigr).
Na segunda, completamos o quadrado:
x^{2}-x+1 = \Bigl(x-\tfrac12\Bigr)^{2}+\tfrac34,
de modo que
\int\frac{1}{(x-\tfrac12)^{2}+(\tfrac{\sqrt3}{2})^{2}}\,dx = \frac{2}{\sqrt3}\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr).

Passo 4

Somando todos os resultados, obtemos
\ln\!\bigl|x\bigr| -2\ln\!\bigl|x+1\bigr| -\frac{3}{x+1} +\ln\!\bigl(x^{2}-x+1\bigr) +\frac{2}{\sqrt3}\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr) +C.
Podemos combinar os logaritmos:
\ln\!\Bigl|\tfrac{x\,(x^{2}-x+1)}{(x+1)^{2}}\Bigr| -\frac{3}{x+1} +\frac{2}{\sqrt3}\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr) +C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{x^{4}+8x^{3}-x^{2}+2x+1}{(x^{2}+x)(x^{3}+1)}\,dx = \ln\!\Bigl|\frac{x\,(x^{2}-x+1)}{(x+1)^{2}}\Bigr| -\frac{3}{x+1} +\frac{2}{\sqrt3}\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr) +C. }

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