Calcule as seguintes integrais.
\int \frac{6 x^{3}-24 x^{2}-162 x+96}{x^{4}+8 x^{3}-13 x^{2}-32 x+36} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{6 x^{3}-24 x^{2}-162 x+96}{x^{4}+8 x^{3}-13 x^{2}-32 x+36}\,dx
Trata-se de uma integral de função racional, que vamos resolver por decomposição em frações parciais. Precisamos fatorar o polinômio do denominador, escrever a fração como soma de termos simples e depois integrar cada termo.

Passo 2

Fatoramos o denominador de grau 4 buscando raízes inteiras. Verifica-se que x=1,2,-2,-9 são zeros, então
x^{4}+8x^{3}-13x^{2}-32x+36=(x-1)(x-2)(x+2)(x+9).

Passo 3

Escrevemos a fração como soma de quatro termos simples:
\frac{6 x^{3}-24 x^{2}-162 x+96}{(x-1)(x-2)(x+2)(x+9)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2}+\frac{D}{x+9}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-2)(x+2)(x+9) obtemos uma identidade em x para determinar A,B,C,D.

Passo 4

Substituímos x pelos zeros do denominador:
Para x=1:
6(1)^{3}-24(1)^{2}-162(1)+96=-84 \quad\text{e}\quad A\,(1-2)(1+2)(1+9)=-30A,
logo -84=-30A\implies A=\tfrac{14}{5}. Para x=2:
6\cdot8-24\cdot4-162\cdot2+96=-276 \quad\text{e}\quad B\,(2-1)(2+2)(2+9)=44B,
logo -276=44B\implies B=-\tfrac{69}{11}. Para x=-2:
6(-8)-24\cdot4-162(-2)+96=276 \quad\text{e}\quad C\,(-2-1)(-2-2)(-2+9)=84C,
logo 276=84C\implies C=\tfrac{23}{7}. Para x=-9:
6(-9)^{3}-24\cdot81-162(-9)+96=-4764 \quad\text{e}\quad D\,(-9-1)(-9-2)(-9+2)=-770D,
logo -4764=-770D\implies D=\tfrac{2382}{385}.

Passo 5

Substituindo de volta na integral e integrando termo a termo, temos
\int \frac{6 x^{3}-24 x^{2}-162 x+96}{x^{4}+8 x^{3}-13 x^{2}-32 x+36}\,dx =\frac{14}{5}\int \frac{dx}{x-1} -\frac{69}{11}\int \frac{dx}{x-2} +\frac{23}{7}\int \frac{dx}{x+2} +\frac{2382}{385}\int \frac{dx}{x+9}.
Cada uma dessas é uma integral do tipo \int \frac{dx}{x-a}=\ln|x-a|.

Resposta

\frac{14}{5}\ln\bigl|x-1\bigr| -\frac{69}{11}\ln\bigl|x-2\bigr| +\frac{23}{7}\ln\bigl|x+2\bigr| +\frac{2382}{385}\ln\bigl|x+9\bigr| +C.

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