Em cada item, calcule f^{\prime}\left(x_{0}\right) e f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right), sabendo que y=f(x) é a solução do PVI.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=x+\frac{y}{3}+\operatorname{sen}(3 x+y) \\\ y(1)=-3\end{array}, x_{0}=1\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
y' = x + \frac{y}{3} + \sin(3x + y), \qquad y(1) = -3,
e pede f'(1) e f''(1). Aqui usamos substituição direta para f'(1) e depois diferenciamos a equação original para obter f''(x), avaliando em x=1.

Passo 2

Para calcular f'(1), basta usar a ODE em x_0=1 e y(1)=-3:
f'(1) =1+\frac{y(1)}{3}+\sin\bigl(3\cdot1+y(1)\bigr) =1+\frac{-3}{3}+\sin(3-3) =1-1+0 =0.

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados da ODE para achar y''=f''(x).
Derivando x 1, derivando \tfrac{y}{3} \tfrac{y'}{3}, e aplicando a regra da cadeia em \sin(3x+y) temos:
\frac{d}{dx}\sin(3x+y) =\cos(3x+y)\,\frac{d}{dx}(3x+y) =\cos(3x+y)\,(3+y').
Logo,
y''=1+\frac{y'}{3}+\cos(3x+y)\,(3+y').

Passo 4

Para avaliar em x=1, usamos y(1)=-3 e y'(1)=0, obtendo
\cos(3\cdot1+y(1))=\cos(0)=1,
então
f''(1) =1+\frac{0}{3}+1\cdot(3+0) =1+0+3 =4.

Resposta

f'(1)=0
f''(1)=4

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