Supondo que y_{1} e y_{2} são soluções da equação diferencial y^{\prime}+g(x) y=1, mostre que:
y_{3}=e^{y_{1}+y_{2}} é uma solução da equação diferencial y^{\prime}+g(x) y \ln y=2 y.

Passo 1

O enunciado diz que y_{1} e y_{2} satisfazem a equação diferencial linear inhomogênea
y' + g(x)\,y = 1.
Queremos mostrar que a função composta
y_{3}(x) = e^{\,y_{1}(x) + y_{2}(x)}
é solução de outra equação diferencial não linear:
y' + g(x)\,y\,\ln y = 2\,y.
Para isso, vamos (1) calcular y_{3}' usando regra da cadeia e (2) usar que y_{1} e y_{2} satisfazem y' + g(x)y=1.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
y_{3}(x) = e^{\,y_{1}(x) + y_{2}(x)}
é
y_{3}'(x) = \bigl(y_{1}'(x) + y_{2}'(x)\bigr)\,e^{\,y_{1}(x) + y_{2}(x)}.

Passo 3

Como y_{1} e y_{2} satisfazem y' + g(x)\,y = 1, temos
y_{1}' = 1 - g(x)\,y_{1}, \qquad y_{2}' = 1 - g(x)\,y_{2}.
Somando,
y_{1}' + y_{2}' = 2 - g(x)\,\bigl(y_{1} + y_{2}\bigr).
Substituindo em y_{3}',
y_{3}' = \bigl[2 - g(x)\,(y_{1}+y_{2})\bigr]\,e^{\,y_{1}+y_{2}}.

Passo 4

Agora calculamos o termo g(x)\,y_{3}\,\ln y_{3}. Como
y_{3} = e^{\,y_{1}+y_{2}},
temos
\ln y_{3} = y_{1} + y_{2},
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g(x)\,y_{3}\,\ln y_{3} = g(x)\,e^{\,y_{1}+y_{2}}\,(y_{1}+y_{2}).

Passo 5

Somando y_{3}' e g(x)\,y_{3}\,\ln y_{3}:
y_{3}' + g(x)\,y_{3}\,\ln y_{3} = \bigl[2 - g(x)\,(y_{1}+y_{2})\bigr]e^{\,y_{1}+y_{2}} + g(x)\,(y_{1}+y_{2})\,e^{\,y_{1}+y_{2}} = 2\,e^{\,y_{1}+y_{2}}.

Passo 6

Reconhecendo que e^{\,y_{1}+y_{2}} = y_{3}, obtemos
y_{3}' + g(x)\,y_{3}\,\ln y_{3} = 2\,y_{3},
que é exatamente a equação desejada.

Resposta

y_{3}(x) = e^{\,y_{1}(x) + y_{2}(x)} é solução de
y' + g(x)\,y\,\ln y = 2\,y.

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