Supondo que
e
são soluções da equação diferencial
, mostre que:
é uma solução da equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
satisfazem a equação diferencial linear inhomogênea
Queremos mostrar que a função composta
é solução de outra equação diferencial não linear:
Para isso, vamos (1) calcular
usando regra da cadeia e (2) usar que
e
satisfazem
.
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
é
Passo 3
Como
e
satisfazem
, temos
Somando,
Substituindo em
,
Passo 4
Agora calculamos o termo
. Como
temos
logo
Passo 5
Somando
e
:
Passo 6
Reconhecendo que
, obtemos
que é exatamente a equação desejada.