Mostre que, se y=y(x) é uma solução da equação diferencial y^{\prime}=y^{2}+e^{x y} em algum intervalo, então y é uma função crescente neste intervalo.

Passo 1

O enunciado nos dá uma solução y=y(x) da equação diferencial de primeira ordem
y' = y^2 + e^{x\,y}
num certo intervalo e pede para mostrar que y é crescente nesse intervalo. O conteúdo principal aqui é usar o sinal de y' para deduzir monotonicidade de y.

Passo 2

Observamos os dois termos do lado direito:
  1. \;y^2\ge0 para todo x.
  2. \;e^{x\,y}>0 para todo x, pois a função exponencial nunca se anula.

Passo 3

Somando-os, concluímos que
y'(x)=y(x)^2 + e^{x\,y(x)}>0
em todo o intervalo em que a solução está definida.

Passo 4

Pelo teorema que liga o sinal da derivada à monotonicidade, se y'(x)>0 em um intervalo então y é estritamente crescente nele.

Resposta

y é estritamente crescente em qualquer intervalo onde satisfaça y'=y^2+e^{x\,y}.

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