Mostre que, se
é uma solução da equação diferencial
em algum intervalo, então
é uma função crescente neste intervalo.
Passo 1
O enunciado nos dá uma solução
da equação diferencial de primeira ordem
num certo intervalo e pede para mostrar que
é crescente nesse intervalo. O conteúdo principal aqui é usar o sinal de
para deduzir monotonicidade de
.
Passo 2
Observamos os dois termos do lado direito:
-
para todo . -
para todo , pois a função exponencial nunca se anula.
Passo 3
Somando-os, concluímos que
em todo o intervalo em que a solução está definida.
Passo 4
Pelo teorema que liga o sinal da derivada à monotonicidade, se
em um intervalo então
é estritamente crescente nele.