Calcule as Integrais Indefinidas
integral d xx^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral dxx^2-4. Esse exercício está ligado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente no método de frações parciais. Para resolver, vamos precisar entender como decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 4. Sabemos que isso é uma diferença de quadrados, então:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração 1x^2-4 como uma soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes A e B tais que:
1(x - 2)(x + 2) = Ax - 2 + Bx + 2

Passo 4

Para achar A e B, multiplicamos ambos os lados por (x - 2)(x + 2):
1 = A(x + 2) + B(x - 2)

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para encontrar A e B. Escolhemos valores de x que simplificam a equação. Primeiro, se x = 2:
1 = A(2 + 2) + B(2 - 2)
1 = 4A
A = 14

Passo 6

Agora, se x = -2:
1 = A(-2 + 2) + B(-2 - 2)
1 = -4B
B = -14

Passo 7

Substituindo A e B de volta na expressão de frações parciais:
1x^2-4 = 1/4x - 2 - 1/4x + 2

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral dxx^2-4 = 14 integral dxx - 2 - 14 integral dxx + 2

Passo 9

Sabemos que integral dxx - a = ln|x - a| + C. Aplicando isso:
14 ln|x - 2| - 14 ln|x + 2| + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral dxx^2-4 = 14 ln|x - 2| - 14 ln|x + 2| + C

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