Em cada item, calcule a transformada de Laplace inversa da função
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
Ou seja, devemos encontrar uma função
tal que
. Dados relevantes: o numerador é
e o denominador é
. Vou transformar
para reconhecer formas padrão de transformada de Laplace e então aplicar a inversa.
Passo 2
Lembrete das transformadas-padrão que vamos usar (estas são fórmulas importantes; vou explicar o que cada letra significa):
Aqui
e
são constantes reais:
é o deslocamento na escala de
(relacionado a um fator exponencial
no tempo) e
é a frequência da parte trigonométrica. A propriedade da linearidade também vale: se
então
.
Passo 3
Vamos manipular o denominador para a forma
. Completar o quadrado em
:
Portanto o denominador já está na forma padrão com
e
.
Passo 4
Precisamos escrever o numerador em função de
para comparar com as fórmulas. Reescrevendo:
porque
e
.
Passo 5
Agora dividimos
em duas parcelas, usando a decomposição do numerador:
Cada parcela corresponde a uma transformada padrão: a primeira tem a forma
e a segunda tem a forma
multiplicada por uma constante.
Passo 6
Aplicando as fórmulas do Passo 2 com
e
:
- Para
: a parte básica é a transformada de . Multiplicando por obtemos . - Para
: a parte básica é a transformada de (pois ). Multiplicando por obtemos .
Pelo princípio da linearidade,
Passo 7
Fatorando
para uma escrita mais compacta e para facilitar memorização na prova:
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calcular
que coincide com
. Portanto a inversa está correta. Força aí, essa técnica de completar o quadrado e comparar com as transformadas padrão resolve muita questão de prova!