Em cada item, calcule a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=\frac{2 s+1}{s^{2}-2 s+2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{2s+1}{s^{2}-2s+2}.
Ou seja, devemos encontrar uma função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s). Dados relevantes: o numerador é 2s+1 e o denominador é s^{2}-2s+2. Vou transformar F(s) para reconhecer formas padrão de transformada de Laplace e então aplicar a inversa.

Passo 2

Lembrete das transformadas-padrão que vamos usar (estas são fórmulas importantes; vou explicar o que cada letra significa):
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Aqui a e b são constantes reais: a é o deslocamento na escala de s (relacionado a um fator exponencial e^{at} no tempo) e b é a frequência da parte trigonométrica. A propriedade da linearidade também vale: se F(s)=F_1(s)+F_2(s) então \mathcal{L}^{-1}\{F\}=\mathcal{L}^{-1}\{F_1\}+\mathcal{L}^{-1}\{F_2\}.

Passo 3

Vamos manipular o denominador para a forma (s-a)^{2}+b^{2}. Completar o quadrado em s^{2}-2s+2:
s^{2}-2s+2=(s-1)^{2}+1.
Portanto o denominador já está na forma padrão com a=1 e b=1.

Passo 4

Precisamos escrever o numerador em função de (s-1) para comparar com as fórmulas. Reescrevendo:
2s+1 = 2(s-1) + 3,
porque 2(s-1)=2s-2 e 2s-2+3=2s+1.

Passo 5

Agora dividimos F(s) em duas parcelas, usando a decomposição do numerador:
F(s)=\frac{2(s-1)}{(s-1)^{2}+1}+\frac{3}{(s-1)^{2}+1}.
Cada parcela corresponde a uma transformada padrão: a primeira tem a forma \dfrac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}} e a segunda tem a forma \dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}} multiplicada por uma constante.

Passo 6

Aplicando as fórmulas do Passo 2 com a=1 e b=1:
  • Para \dfrac{2(s-1)}{(s-1)^{2}+1}: a parte básica \dfrac{s-1}{(s-1)^{2}+1} é a transformada de \,e^{t}\cos t. Multiplicando por 2 obtemos \,2e^{t}\cos t.
  • Para \dfrac{3}{(s-1)^{2}+1}: a parte básica \dfrac{1}{(s-1)^{2}+1} é a transformada de \,e^{t}\sin t (pois b=1). Multiplicando por 3 obtemos \,3e^{t}\sin t.
Pelo princípio da linearidade,
f(t)=2e^{t}\cos t + 3e^{t}\sin t.

Passo 7

Fatorando e^{t} para uma escrita mais compacta e para facilitar memorização na prova:
f(t)=e^{t}\bigl(2\cos t + 3\sin t\bigr).

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calcular \mathcal{L}\{f(t)\}
\mathcal{L}\{e^{t}(2\cos t + 3\sin t)\} =2\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1}+3\frac{1}{(s-1)^{2}+1} =\frac{2(s-1)+3}{(s-1)^{2}+1} =\frac{2s+1}{s^{2}-2s+2},
que coincide com F(s). Portanto a inversa está correta. Força aí, essa técnica de completar o quadrado e comparar com as transformadas padrão resolve muita questão de prova!

Resposta

f(t)=e^{t}\bigl(2\cos t + 3\sin t\bigr)

Exercícios relacionados