Em cada item decida se a série é convergente ou divergente e justifique sua afirmação:
sumn=1^infty(5 n+115 n+1)^n.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série sumn=1^infty(5n+115n+1)^n é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é teste da raiz n-ésima para séries numéricas. Vamos usar esse teste porque o termo geral está elevado à potência n.

Passo 2

O teste da raiz n-ésima diz que, para uma série de termos an, se definirmos L=limntoinftyraiz[n]|an|, então: se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; e se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui temos an=(5n+115n+1)^n.

Passo 3

Vamos calcular L=limntoinftyraiz[n]an=limntoinfty5n+115n+1. Observamos que, ao dividir numerador e denominador por n,
5n+115n+1=5+1/n15+1/nto5+015+0=515=13

Passo 4

Como L=1/3<1, pelo teste da raiz n-ésima a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz n-ésima).

Exercícios relacionados