a) Dê um exemplo de uma série condicionalmente convergente e de uma série absolutamente convergente.
b) Existe uma série convergente S:=sumn=1^infty an tal que lim n infty an=c onde c neq 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão tem duas partes. Na primeira, a gente precisa dar exemplos de dois tipos de séries: uma que converja condicionalmente e outra que converja absolutamente. Já na segunda parte, precisamos investigar se existe uma série que converge mesmo com os termos tendendo a um valor diferente de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa convergência condicional e absoluta, e também lembrar do teste do limite para séries.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre séries absolutamente convergentes. Uma série sumn=1^infty an é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos sumn=1^infty |an| também converge. Isso é importante porque séries absolutamente convergentes sempre convergem, independente da ordem dos termos.

Passo 3

Agora, sobre séries condicionalmente convergentes. Uma série sumn=1^infty an é condicionalmente convergente se ela converge, mas a série dos valores absolutos sumn=1^infty |an| não converge. Isso significa que a convergência depende da ordem dos termos.

Passo 4

Vamos aos exemplos!
Para uma série absolutamente convergente, podemos usar a série geométrica com razão menor que 1. Por exemplo:
sumn=1^infty (12)^n
Essa série converge absolutamente porque a soma dos valores absolutos também é uma série geométrica que converge.

Passo 5

Para uma série condicionalmente convergente, um clássico é a série alternada harmônica:
sumn=1^infty (-1)^n+1n
Essa série converge pelo teste da série alternada, mas a série dos valores absolutos, que seria a série harmônica sumn=1^infty 1n, diverge. Então, ela é condicionalmente convergente.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte da questão. Queremos saber se existe uma série S = sumn=1^infty an convergente com limn to infty an = c onde c neq 0.

Passo 7

Lembrando do teste do limite para séries: se limn to infty an neq 0, então a série sumn=1^infty an diverge. Ou seja, para uma série convergir, os termos devem tender a zero.

Passo 8

Portanto, se limn to infty an = c neq 0, a série S não pode convergir.

Resposta

a) Série absolutamente convergente: sumn=1^infty (12)^n
Série condicionalmente convergente: sumn=1^infty (-1)^n+1n
b) Não, não existe uma série convergente S = sumn=1^infty an com limn to infty an = c onde c neq 0.

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