a) Dê um exemplo de uma série condicionalmente convergente e de uma série absolutamente convergente.
b) Existe uma série convergente
tal que
onde
?
b) Existe uma série convergente
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão tem duas partes. Na primeira, a gente precisa dar exemplos de dois tipos de séries: uma que converja condicionalmente e outra que converja absolutamente. Já na segunda parte, precisamos investigar se existe uma série que converge mesmo com os termos tendendo a um valor diferente de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa convergência condicional e absoluta, e também lembrar do teste do limite para séries.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre séries absolutamente convergentes. Uma série
é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos
também converge. Isso é importante porque séries absolutamente convergentes sempre convergem, independente da ordem dos termos.
Passo 3
Agora, sobre séries condicionalmente convergentes. Uma série
é condicionalmente convergente se ela converge, mas a série dos valores absolutos
não converge. Isso significa que a convergência depende da ordem dos termos.
Passo 4
Vamos aos exemplos!
Para uma série absolutamente convergente, podemos usar a série geométrica com razão menor que 1. Por exemplo:
Essa série converge absolutamente porque a soma dos valores absolutos também é uma série geométrica que converge.
Passo 5
Para uma série condicionalmente convergente, um clássico é a série alternada harmônica:
Essa série converge pelo teste da série alternada, mas a série dos valores absolutos, que seria a série harmônica
, diverge. Então, ela é condicionalmente convergente.
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte da questão. Queremos saber se existe uma série
convergente com
onde
.
Passo 7
Lembrando do teste do limite para séries: se
, então a série
diverge. Ou seja, para uma série convergir, os termos devem tender a zero.
Passo 8
Portanto, se
, a série
não pode convergir.
Resposta
a) Série absolutamente convergente:
Série condicionalmente convergente:
b) Não, não existe uma série convergente
com
onde
.