O número pode ser calculado segundo a série alternada
ou segundo a série
Justifique as seguintes afirmações:
a) Para determinar com precisão até a centésima casa decimal é suficiente somar os primeiros termos da série .
b) Para determinar com precisão até a centésima casa decimal é necessário somar os primeiros termos da série .
Passo 1
O enunciado pede para estimar o número até a décima centésima (isto é, erro menor que ) usando duas séries: a alternada e a positiva . Vamos usar o critério de Leibniz para a série alternada e o teste integral para a série positiva.
Passo 2
Para a série alternada, o resto após termos satisfaz o critério de Leibniz:
Queremos RN <= 10^-100. Logo basta impor
12(N+1)^2 <= 10^-100
que dá
N+1 >= raiz12,10^50 approx 3,46times10^50 ; implies; N >rsim 3,46times10^50
Portanto, somar os 10^51 primeiros termos garante erro abaixo de 10^-100.
Passo 3
Para a série positiva, usamos o teste integral para estimar o resto: