O número pi^2=9.86960440109 ldots pode ser calculado segundo a série alternada
sumk=1^infty(-1)^n+1 cdot 12n^2=pi^2
ou segundo a série
sumk=1^infty 6n^2=pi^2
Justifique as seguintes afirmações:
a) Para determinar pi^2 com precisão até a centésima casa decimal é suficiente somar os 10^51 primeiros termos da série sumk=1^infty 12 cdot(-1)^n+1n^2.
b) Para determinar pi^2 com precisão até a centésima casa decimal é necessário somar os 10^100 primeiros termos da série sumk=1^infty 6n^2.

Passo 1

O enunciado pede para estimar o número pi^2 até a décima centésima (isto é, erro menor que 10^-100) usando duas séries: a alternada sumn=1^infty(-1)^n+112n^2=pi^2 e a positiva sumn=1^infty6n^2=pi^2. Vamos usar o critério de Leibniz para a série alternada e o teste integral para a série positiva.

Passo 2

Para a série alternada, o resto após N termos satisfaz o critério de Leibniz:
RN = l|pi^2 - sumn=1^N(-1)^n+112n^2r| <= 12(N+1)^2
Queremos RN <= 10^-100. Logo basta impor
12(N+1)^2 <= 10^-100
que dá
N+1 >= raiz12,10^50 approx 3,46times10^50 ; implies; N >rsim 3,46times10^50
Portanto, somar os 10^51 primeiros termos garante erro abaixo de 10^-100.

Passo 3

Para a série positiva, usamos o teste integral para estimar o resto:
RN = sumn=N+1^infty 6n^2 <= integralN^infty 6x^2,dx = 6N
Exigindo RN <= 10^-100 obtemos
6N <= 10^-100 Longrightarrow N >= 6times10^100
Isso mostra que é necessário somar, em ordem de grandeza, 10^100 termos para alcançar a mesma precisão de 10^-100.

Resposta

a) Basta somar os primeiros 10^51 termos da série alternada. b) É necessário somar da ordem de 10^100 termos da série positiva.

Exercícios relacionados