Em cada item decida se a série é convergente ou divergente e justifique sua afirmação: .
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada . O conteúdo principal é o critério de Leibniz para séries alternadas e, em seguida, analisar a convergência absoluta usando, por exemplo, o teste da integral.
Passo 2
Para aplicar o critério de Leibniz, definimos . Mostramos que é decrescente a partir de e que quando :
A função tem derivada
logo é decrescente para . Além disso,
Passo 3
Pelo critério de Leibniz, como é decrescente e tende a zero, a série alternada converge.
Passo 4
Para verificar a convergência absoluta, consideramos . Aplicando o teste da integral:
portanto a série de termos positivos diverge e a convergência não é absoluta.
Resposta
A série sumn=2^infty(-1)^n+1ln n converge condicionalmente (convergência segundo Leibniz, mas diverge em módulo).