Em cada item decida se a série é convergente ou divergente e justifique sua afirmação:
sumn=1^infty (-1)^n+1ln n.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada sumn=2^infty (-1)^n+1ln n. O conteúdo principal é o critério de Leibniz para séries alternadas e, em seguida, analisar a convergência absoluta usando, por exemplo, o teste da integral.

Passo 2

Para aplicar o critério de Leibniz, definimos an=1ln n. Mostramos que (an) é decrescente a partir de n>=3 e que anto0 quando ntoinfty:
A função f(x)=1ln x tem derivada
f'(x)=-1x(ln x)^2<0para x>1,
logo an=f(n) é decrescente para n>=2. Além disso,
limntoinftyan=limntoinfty1ln n=0

Passo 3

Pelo critério de Leibniz, como an é decrescente e tende a zero, a série alternada converge.

Passo 4

Para verificar a convergência absoluta, consideramos sumn=2^infty1ln n. Aplicando o teste da integral:
integral2^inftydxln x=li(x)g|2^infty=infty,
portanto a série de termos positivos diverge e a convergência não é absoluta.

Resposta

A série sumn=2^infty(-1)^n+1ln n converge condicionalmente (convergência segundo Leibniz, mas diverge em módulo).

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