Em cada item, descreva o elemento diferencial pedido.
Diferencial escalar de uma integral sobre uma curva em
.
Diferencial escalar de uma integral sobre uma curva em
Passo 1
O enunciado pede o elemento diferencial escalar que aparece numa integral de linha (integral escalar) ao longo de uma curva em
. O conteúdo é cálculo de integrais sobre curvas, e vamos precisar da definição de comprimento de arco e de como expressar esse comprimento em termos de
e
ou de um parâmetro
.
Passo 2
Se a curva for dada de forma implícita pelos pequenos deslocamentos
e
, o elemento diferencial de comprimento de arco é o comprimento do vetor diferencial de posição
. Pela norma euclidiana em
, temos
Passo 3
Se a curva for parametrizada por
, com
variando em algum intervalo
, então
e o diferencial escalar fica
Resposta
O diferencial escalar de uma integral de linha em
é
ou, em parametrização
,