Em cada item, descreva o elemento diferencial pedido.
Diferencial escalar de uma integral sobre uma curva em R^2.

Passo 1

O enunciado pede o elemento diferencial escalar que aparece numa integral de linha (integral escalar) ao longo de uma curva em R^2. O conteúdo é cálculo de integrais sobre curvas, e vamos precisar da definição de comprimento de arco e de como expressar esse comprimento em termos de dx e dy ou de um parâmetro t.

Passo 2

Se a curva for dada de forma implícita pelos pequenos deslocamentos dx e dy, o elemento diferencial de comprimento de arco é o comprimento do vetor diferencial de posição dr=(dx,dy). Pela norma euclidiana em R^2, temos
ds = |dr| = raiz(dx)^2 + (dy)^2

Passo 3

Se a curva for parametrizada por r(t) = (x(t),y(t)), com t variando em algum intervalo [a,b], então
dr = r'(t),dt = l(x'(t),y'(t)r),dt
e o diferencial escalar fica
ds = |r'(t)|,dt = raizl(x'(t)r)^2 + l(y'(t)r)^2,dt

Resposta

O diferencial escalar de uma integral de linha em R^2 é
ds = raiz(dx)^2 + (dy)^2,
ou, em parametrização r(t)=(x(t),y(t)),
ds = raizl(x'(t)r)^2 + l(y'(t)r)^2,dt

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