Em cada item, descreva o elemento diferencial pedido.
Diferencial de uma integral sobre uma região de R^3.

Passo 1

O enunciado pede para descrever o elemento diferencial de volume em R^3, isto é, o “ dV” que aparece em integrais triplas. Para isso vamos usar o conceito de jacobiano em mudanças de coordenadas, mostrando as formas usuais em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas (x,y,z) não há mudança de variável, logo o jacobiano é 1 e
dV = dx,dy,dz

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), temos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
e o jacobiano vale r. Portanto
dV = r,dr,dtheta,dz

Passo 4

Em coordenadas esféricas (rho,phi,theta), definimos
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi,
cujo jacobiano é rho^2sinphi. Assim
dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Resposta

Em cada sistema de coordenadas temos:
(a) Cartesiano: dV = dx,dy,dz.
(b) Cilíndrico: dV = r,dr,dtheta,dz.
(c) Esférico: dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta.

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