Em cada item, descreva o elemento diferencial pedido.
Diferencial de uma integral sobre uma região de
.
Diferencial de uma integral sobre uma região de
Passo 1
O enunciado pede para descrever o elemento diferencial de volume em
, isto é, o “
” que aparece em integrais triplas. Para isso vamos usar o conceito de jacobiano em mudanças de coordenadas, mostrando as formas usuais em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.
Passo 2
Em coordenadas cartesianas
não há mudança de variável, logo o jacobiano é 1 e
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas
, temos
e o jacobiano vale
. Portanto
Passo 4
Em coordenadas esféricas
, definimos
cujo jacobiano é
. Assim
Resposta
Em cada sistema de coordenadas temos:
(a) Cartesiano: .
(b) Cilíndrico: .
(c) Esférico: .
(a) Cartesiano:
(b) Cilíndrico:
(c) Esférico: