Classifique os pontos críticos das funções abaixo
f(x, y)=e^x sen y, 0 <= y <= 2 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y) = e^xsin y
no domínio
D = (x,y)mid 0<= y<= 2x
Como primeiro passo, vamos buscar os pontos em que o gradiente de f se anula (pontos estacionários no interior de D).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y) = e^xsin y,
partial fpartial y(x,y) = e^xcos y

Passo 3

Para um ponto interior ser crítico, precisamos
partial fpartial x(x,y)=0 e partial fpartial y(x,y)=0
Como e^x>0 para todo x, as equações reduzem-se a
sin y = 0 e cos y = 0
Não existe valor de y que faça simultaneamente sin y=0 e cos y=0. Logo, não há pontos críticos no interior de D.

Resposta

Não existem pontos críticos de f(x,y)=e^xsin y no domínio dado.

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