Em cada item, descreva o elemento diferencial pedido.
Diferencial escalar de uma integral sobre uma superfície em .
Passo 1
O enunciado pede o elemento diferencial escalar de uma integral sobre uma superfície em . Para isso precisamos parametrizar a superfície e usar o fato de que a área de um pequeno paralelogramo gerado pelas derivadas parciais da parametrização dá o diferencial de área.
Passo 2
Suponha que a superfície seja dada por uma parametrização . Então cada ponto da superfície é .
Calculamos as derivadas parciais
O vetor é ortogonal à superfície e seu módulo é a área do paralelogramo formado por e .
Passo 3
O diferencial escalar de área é justamente o módulo desse produto vetorial vezes , ou seja,
Passo 4
No caso especial de uma superfície dada como gráfico de z=g(x,y), podemos usar a parametrização r(x,y)=(x,y,g(x,y)). As derivadas são