Em cada item, descreva o elemento diferencial pedido.
Diferencial escalar de uma integral sobre uma superfície em R^3.

Passo 1

O enunciado pede o elemento diferencial escalar de uma integral sobre uma superfície em R^3. Para isso precisamos parametrizar a superfície e usar o fato de que a área de um pequeno paralelogramo gerado pelas derivadas parciais da parametrização dá o diferencial de área.

Passo 2

Suponha que a superfície S seja dada por uma parametrização r(u,v)colon DsubsetR^2toR^3. Então cada ponto da superfície é r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)).
Calculamos as derivadas parciais
ru=partialrpartial u, rv=partialrpartial v
O vetor rutimesrv é ortogonal à superfície e seu módulo é a área do paralelogramo formado por ru e rv.

Passo 3

O diferencial escalar de área é justamente o módulo desse produto vetorial vezes du,dv, ou seja,
dS=llvertru(u,v)timesrv(u,v)rrvert,du,dv

Passo 4

No caso especial de uma superfície dada como gráfico de z=g(x,y), podemos usar a parametrização r(x,y)=(x,y,g(x,y)). As derivadas são
rx=(1,0,gx), ry=(0,1,gy),
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lvertrxtimesryrvert =raiz1+gx^2+gy^2
e
dS=raiz1+l(tfracpartial gpartial xr)^2+l(tfracpartial gpartial yr)^2,dx,dy

Resposta

dS=llvertrutimesrvrrvert,du,dv ou, para z=g(x,y), dS=raiz1+gx^2+gy^2,dx,dy

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