Verifique se a equação é exata. Se for, resolva:
(e^{x}+y) d x+\left(2+x+y e^{y}\right) d y=0, \quad y(0)=1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra verificar se a equação
(e^x+y),dx + l(2 + x + y e^yr),dy = 0
é exata e, em caso afirmativo, resolver com a condição y(0)=1. O conteúdo é de equações diferenciais exatas: vamos checar se
partial M/partial y = partial N/partial x
para M(x,y)=e^x + y e N(x,y)=2 + x + y e^y, e depois achar a função potencial phi(x,y).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(e^x + y) = 1,
partial Npartial x = partialpartial x(2 + x + y e^y) = 1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe phi(x,y) tal que
phix = M = e^x + y.
Integramos em x:
phi(x,y) = integral (e^x + y),dx = e^x + x,y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para achar h(y), usamos phiy = N. Da expressão acima,
phiy = x + h'(y)
deve ser igual a
N = 2 + x + y e^y
Logo
h'(y) = 2 + y e^y
Integramos em y:
h(y) = integral (2 + y e^y),dy = 2y + l(y e^y - e^yr) + C1
Desprezando C1 por enquanto, temos
phi(x,y) = e^x + x y + 2y + y e^y - e^y

Passo 5

A solução implícita geral é phi(x,y)=C. Para ajustar à condição inicial y(0)=1, calculemos
phi(0,1) = e^0 + 0cdot1 + 2cdot1 + 1cdot e^1 - e^1 = 1 + 2 + e - e = 3
Isso mostra que C=3.

Resposta

e^x + x,y + 2y + y e^y - e^y = 3

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