Verifique se a equação é exata. Se for, resolva:
(e^{x}+y) d x+\left(2+x+y e^{y}\right) d y=0, \quad y(0)=1
(e^{x}+y) d x+\left(2+x+y e^{y}\right) d y=0, \quad y(0)=1
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra verificar se a equação
é exata e, em caso afirmativo, resolver com a condição
. O conteúdo é de equações diferenciais exatas: vamos checar se
para e
, e depois achar a função potencial
.
para
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como é exata, existe
tal que
.
Integramos em :
Integramos em
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Para achar
, usamos
. Da expressão acima,
deve ser igual a
Logo
Integramos em
:
Desprezando
por enquanto, temos
Passo 5
A solução implícita geral é
. Para ajustar à condição inicial
, calculemos
Isso mostra que
.