Resolva a equação diferencial linear usando um fator de integração:
x^{2} y^{\prime}+x y=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x^2y' + x,y = 1
e pede a solução geral por meio de fator de integração. Trata-se de uma equação linear de primeira ordem no formato
y' + P(x),y = Q(x)

Passo 2

Para colocar na forma padrão, dividimos tudo por x^2 (supondo xneq0):
y' + 1x,y = 1x^2
Aqui P(x)=tfrac1x e Q(x)=tfrac1x^2.

Passo 3

O fator de integração é
mu(x)=expgl(integral P(x),dxgr) =exp!gl(integral 1x,dxgr) =exp(ln|x|) =|x|
Podemos tomar mu(x)=x em um intervalo onde x>0; um escalar absoluto pode ser absorvido na constante de integração.

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por mu(x)=x, obtemos
x,y' + y = 1x

Passo 5

Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de um produto:
x,y' + y = ddxl(x,yr)
Logo a equação torna-se
ddxl(x,yr) = 1x

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
x,y = integral 1x,dx = lnlvert xrvert + C,
onde C é constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos y:
y = lnlvert xrvert + Cx

Resposta

A solução geral é
y = lnlvert xrvert + Cx

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