Resolva a equação diferencial linear usando um fator de integração:
x^{2} y^{\prime}+x y=1
x^{2} y^{\prime}+x y=1
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede a solução geral por meio de fator de integração. Trata-se de uma equação linear de primeira ordem no formato
Passo 2
Para colocar na forma padrão, dividimos tudo por
(supondo
):
Aqui
e
.
Passo 3
O fator de integração é
Podemos tomar
em um intervalo onde
; um escalar absoluto pode ser absorvido na constante de integração.
Passo 4
Multiplicando a forma padrão por
, obtemos
Passo 5
Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de um produto:
Logo a equação torna-se
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração.
Passo 7
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral é