Em cada item, descreva o elemento diferencial pedido.
Diferencial de uma integral sobre um intervalo de R.

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos qual é o elemento diferencial que aparece numa integral de função real sobre um intervalo de R. O conteúdo aqui é a noção de integral (por exemplo, de Riemann ou de Lebesgue) e o que significa “ d x” no símbolo
integrala^b f(x),d x

Passo 2

Na definição da integral de Riemann, dividimos o intervalo [a,b] em subintervalos [xi,xi+1] de comprimento De<a xi = xi+1-xi. Cada retângulo aproximado tem área
f(xii),De<a xi
Quando refinamos a partição ( maxiDe<a xito0), o símbolo De<a xi tende a um “incremento infinitesimal” que passamos a denotar por ,d x. Logo, em
integrala^b f(x),d x
o “ d x” é justamente esse elemento diferencial que corresponde a um pequeno deslocamento na variável x.

Passo 3

Na teoria de Lebesgue, a integral
integrala^b f(x),d x
é encarada como
integral[a,b] f(x),dmu(x),
onde mu é a medida de Lebesgue. Nesse caso escrevemos simplesmente dmu(x)=d x, indicando que o diferencial é o elemento de medida ao longo da reta real.

Resposta

O elemento diferencial de uma integral sobre um intervalo de R é
d x,
que representa o pequeno incremento (ou o elemento de medida) na variável x.

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