Em cada item, descreva o elemento diferencial pedido.
Diferencial de uma integral sobre uma região de R^2.

Passo 1

O enunciado pede para descrever o elemento diferencial em uma integral dupla sobre uma região de R^2. Vamos usar a noção de elemento de área em diferentes sistemas de coordenadas e a fórmula do Jacobiano para mudança de variáveis.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas (x,y), um retângulo infinitesimal de lados dx e dy tem área
dA = dx,dy

Passo 3

Em coordenadas polares (r,theta) fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta,
cuj o Jacobiano é
det J = r
Logo o elemento de área vira
dA = r,dr,dtheta

Passo 4

De forma geral, sob a transformação suave
phi:(u,v)mapsto(x(u,v),y(u,v)),
o elemento de área se transforma segundo
dA = l|det Dphi(u,v)r|;du,dv,
onde det Dphi é o determinante da matriz Jacobiana de phi.

Resposta

(a) Em coordenadas cartesianas: dA=dx,dy.
(b) Em coordenadas polares: dA=r,dr,dtheta.
(c) Em mudança genérica (u,v)to(x,y): dA=l|det Dphi(u,v)r|,du,dv.

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