Em cada item, descreva o elemento diferencial pedido.
Diferencial de uma integral sobre uma região de .
Passo 1
O enunciado pede para descrever o elemento diferencial em uma integral dupla sobre uma região de . Vamos usar a noção de elemento de área em diferentes sistemas de coordenadas e a fórmula do Jacobiano para mudança de variáveis.
Passo 2
Em coordenadas cartesianas , um retângulo infinitesimal de lados e tem área
Passo 3
Em coordenadas polares fazemos
cuj o Jacobiano é
Logo o elemento de área vira
Passo 4
De forma geral, sob a transformação suave ,
o elemento de área se transforma segundo
onde det Dphi é o determinante da matriz Jacobiana de phi.
Resposta
(a) Em coordenadas cartesianas: dA=dx,dy.
(b) Em coordenadas polares: dA=r,dr,dtheta.
(c) Em mudança genérica (u,v)to(x,y): dA=l|det Dphi(u,v)r|,du,dv.