Encontre pelo menos os seis primeiros termos diferentes de zero em uma expansão em série de potências em torno de x=0 para a soluçāo geral da equaçāo diferencial
y^prime prime+x y^prime+y=x^2+2 x+1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral em série de potências em torno de x=0 para a equação diferencial
y'' + x,y' + y = x^2 + 2x + 1
O conteúdo aplicado é o método de séries de potências: supondo
y(x)=sumn=0^inftyan x^n,
vamos obter uma relação de recorrência entre os coeficientes an e calcular os primeiros termos em função de a0 e a1, que são as constantes arbitrárias da solução geral.

Passo 2

Escrevemos as derivadas como séries reindexadas em potências de x^n:
y'(x)=sumn=0^infty(n+1)an+1,x^n,
y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2,x^n,
e
x,y'(x)=sumn=1^inftyn,an,x^n =sumn=0^inftyn,an,x^n,
pois o termo n=0 é zero.

Passo 3

Substituindo em y''+x,y'+y e somando coeficientes de x^n, obtemos para todo n>=0:
(n+2)(n+1)an+2+l(n+1r)an = bn,
onde bn é o coeficiente de x^n no lado direito. Como x^2+2x+1 tem b0=1, b1=2, b2=1 e bn=0 para n>=3, a recorrência é
an+2=bn-(n+1)an(n+2)(n+1)

Passo 4

Para n=0 e n=1 achamos a2 e a3 em função de a0 e a1:
n=0:
2cdot1,a2+1cdot a0=1 Longrightarrow a2=1-a02
n=1:
3cdot2,a3+2,a1=2 Longrightarrow a3=1-a13

Passo 5

Para n=2 e n=3 calculamos a4 e a5:
n=2:
4cdot3,a4+3,a2=1 Longrightarrow a4=1-3a212 =3a0-124
n=3:
5cdot4,a5+4,a3=0 Longrightarrow a5=-4a320 =a1-115

Passo 6

Substituindo os coeficientes na série e renomeando a0=C1, a1=C2, obtemos os seis primeiros termos diferentes de zero da solução geral:
y(x)=C1 + C2,x +1-C12,x^2 +1-C23,x^3 +3C1-124,x^4 +C2-115,x^5 +cdots

Resposta

Os seis primeiros termos não nulos são
y(x)=C1 + C2,x +1-C12,x^2 +1-C23,x^3 +3C1-124,x^4 +C2-115,x^5+cdots

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