Encontre pelo menos os seis primeiros termos diferentes de zero em uma expansão em série de potências em torno de
para a soluçāo geral da equaçāo diferencial
Passo 1
O enunciado pede a solução geral em série de potências em torno de
para a equação diferencial
O conteúdo aplicado é o método de séries de potências: supondo
vamos obter uma relação de recorrência entre os coeficientes
e calcular os primeiros termos em função de
e
, que são as constantes arbitrárias da solução geral.
Passo 2
Escrevemos as derivadas como séries reindexadas em potências de
:
e
pois o termo
é zero.
Passo 3
Substituindo em
e somando coeficientes de
, obtemos para todo
:
onde
é o coeficiente de
no lado direito. Como
tem
,
,
e
para
, a recorrência é
Passo 4
Para
e
achamos
e
em função de
e
:
n=0:
n=0:
n=1:
Passo 5
Para
e
calculamos
e
:
n=2:
n=2:
n=3:
Passo 6
Substituindo os coeficientes na série e renomeando
,
, obtemos os seis primeiros termos diferentes de zero da solução geral:
Resposta
Os seis primeiros termos não nulos são