Em cada item, descreva o elemento diferencial pedido.
Diferencial vetorial de uma integral sobre uma curva em
.
Diferencial vetorial de uma integral sobre uma curva em
Passo 1
O enunciado pede para descrever o diferencial vetorial de uma integral de linha em
. Vamos usar representação paramétrica de curvas e relacionar o diferencial vetorial com as derivadas das coordenadas e com o comprimento de arco.
Passo 2
Seja uma curva
em
dada parametricamente por
Ao definirmos uma integral de linha de um campo vetorial
ao longo de
, escrevemos
O diferencial vetorial
é dado pela derivada de
em relação a
multiplicada por
:
Passo 3
Como
temos
Em notação diferencial de coordenadas, isso equivale a
Passo 4
Se definirmos o comprimento de arco por
então o vetor unitário tangente é
o que leva à forma alternativa