Em cada item, descreva o elemento diferencial pedido.
Diferencial vetorial de uma integral sobre uma curva em R^3.

Passo 1

O enunciado pede para descrever o diferencial vetorial de uma integral de linha em R^3. Vamos usar representação paramétrica de curvas e relacionar o diferencial vetorial com as derivadas das coordenadas e com o comprimento de arco.

Passo 2

Seja uma curva C em R^3 dada parametricamente por
vec rcolon [a,b]toR^3, vec r(t) = l(x(t),,y(t),,z(t)r)
Ao definirmos uma integral de linha de um campo vetorial vec F ao longo de C, escrevemos
integralCvec Fcdot dvec r
O diferencial vetorial dvec r é dado pela derivada de vec r(t) em relação a t multiplicada por dt:
dvec r = vec r,'(t),dt

Passo 3

Como
vec r,'(t) = l(x'(t),,y'(t),,z'(t)r),
temos
dvec r = x'(t),dt,hatimath ;+; y'(t),dt,hatjmath ;+; z'(t),dt,hat k
Em notação diferencial de coordenadas, isso equivale a
dvec r = dx,hatimath + dy,hatjmath + dz,hat k

Passo 4

Se definirmos o comprimento de arco por
ds = l|vec r,'(t)r|,dt,
então o vetor unitário tangente é
hat T = vec r,'(t)|vec r,'(t)|,
o que leva à forma alternativa
dvec r = hat T,ds

Resposta

dvec r = vec r,'(t),dt = dx,hatimath + dy,hatjmath + dz,hat k = hat T,ds

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