Questão 15. Calcule os seguintes limites (envolvendo o número irracional e cong 2 , 7 1 8 2 ):
lim x +infty(x+5x)^6 x+4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto+inftyl(x+5xr)^6x+4
O conteúdo envolve limites de formas do tipo (1 + a/x)^bx+c, onde usamos o resultado clássico de que
limxtoinftyl(1+axr)^x=e^a

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a base como uma soma de 1 com algo que tende a zero:
x+5x =;1+5x
Logo
l(x+5xr)^6x+4 =l(1+5xr)^6x+4

Passo 3

Agora separamos a potência em duas partes:
l(1+5xr)^6x+4 =l(1+5xr)^6x;times;l(1+5xr)^4

Passo 4

Para a primeira parte, usamos
limxtoinftyl(1+5xr)^6x =expl(limxtoinfty6xlnl(1+tfrac5xr)r)
Como ln(1+5/x)sim 5/x quando xtoinfty, temos
6xlnl(1+5xr);longrightarrow;6xcdot5x =30,
portanto
limxtoinftyl(1+5xr)^6x =e^30

Passo 5

Para a segunda parte,
limxtoinftyl(1+5xr)^4 =1^4=1,
pois 5xto0.

Passo 6

Juntando as duas partes, o limite original é
e^30times 1 = e^30

Resposta

limxto+inftyl(tfracx+5xr)^6x+4 =e^30

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