Questão 15. Calcule os seguintes limites (envolvendo o número irracional e cong 2 , 7 1 8 2 ):
lim x 0 e^x-12 x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limx 0e^x-12x
Estamos em um problema de limite de função exponencial; para resolver podemos usar a expansão em série de Taylor de e^x ou o limite fundamental
limxto0e^x-1x=1.

Passo 2

Ao substituir x=0 diretamente no quociente, o numerador e o denominador tendem a zero, ou seja, temos a forma indeterminada tfrac00. Isso indica que precisamos recorrer a alguma técnica como Taylor ou o limite fundamental.

Passo 3

Usando a expansão de Taylor em torno de x=0:
e^x = 1 + x + x^22 + cdots,
portanto
e^x-1 = x + O(x^2)
Dividindo por 2x vem
e^x-12x = x + O(x^2)2x = 12 + O(x),
e quando xto0 o termo O(x) vai a zero, ficando tfrac12.

Resposta

12

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