Questão 15. Calcule os seguintes limites (envolvendo o número irracional e cong 2 , 7 1 8 2 ):
lim x pi / 2(1+cos (x))^3 sec (x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto pi/2(1+cos(x))^3sec(x)
Quando xtopi/2 temos cos(x)to0 e sec(x)=1/cos(x)to+infty, ou seja, aparece a forma indeterminada 1^infty. Para resolver, vamos usar o método de logaritmo.

Passo 2

Definimos
y = (1+cos(x))^3sec(x)
e tomamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = 3sec(x),lnl(1+cos(x)r) =3,lnl(1+cos(x)r)cos(x)

Passo 3

Fazemos a troca de variável cos(x)=t, de modo que tto0 quando xtopi/2. Então
ln y = 3,ln(1+t)t
Para t pequeno usamos a expansão
ln(1+t)=t-tfract^22+o(t^2),
da qual segue
ln(1+t)t=1-tfrac t2+o(t)
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limtto0ln y = 3cdot1 = 3

Passo 4

Como ln yto3, obtemos
limxtopi/2y =limxtopi/2e^ln y =e^3

Resposta

e^3

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