Verifique a convergência das seguintes integrais:
integral1^infty e^-x x^p d x

Passo 1

A questão pede para verificar a convergência da integral imprópria integral1^infty e^-x x^p,dx. Isso envolve teste de convergência de integrais no infinito e usar que a função exponencial decai mais rápido que qualquer potência.

Passo 2

Note que não há problema na vizinhança de x=1, pois e^-x x^p é contínua em [1,infty). O único ponto a analisar é o comportamento quando xtoinfty. Para isso, usamos o teste da comparação: observamos que a função
f(x)=x^pe^-x/2
tende a zero quando xtoinfty e é contínua em [1,infty), logo existe uma constante M>0 tal que para todo x>=1
x^pe^-x/2<= M
Dessa forma, para x>=1
x^pe^-x=x^pe^-x/2e^-x/2<= M e^-x/2
Como sabemos que a integral
integral1^inftyM e^-x/2,dx
converge (é uma exponencial decaindo), então por comparação positiva a integral original também converge.

Passo 3

Portanto, pelo teste de comparação com uma exponencial decrescente, a integral integral1^infty e^-x x^p,dx converge para qualquer valor real de p.

Resposta

A integral converge para todo pinR.

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