Verifique a convergência das seguintes integrais:
Passo 1
A questão pede para verificar a convergência da integral imprópria
. Isso envolve teste de convergência de integrais no infinito e usar que a função exponencial decai mais rápido que qualquer potência.
Passo 2
Note que não há problema na vizinhança de
, pois
é contínua em
. O único ponto a analisar é o comportamento quando
. Para isso, usamos o teste da comparação: observamos que a função
tende a zero quando
e é contínua em
, logo existe uma constante
tal que para todo
Dessa forma, para
Como sabemos que a integral
converge (é uma exponencial decaindo), então por comparação positiva a integral original também converge.
Passo 3
Portanto, pelo teste de comparação com uma exponencial decrescente, a integral
converge para qualquer valor real de
.
Resposta
A integral converge para todo
.