Calcule as integrais:
integral0^1 x raiz1-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de xraiz1-x,dx. Isso envolve técnicas de substituição para simplificar a raiz e depois aplicar a regra de potência em integrais.

Passo 2

Fazemos a substituição u = 1 - x. Daí du = -dx e x = 1 - u. Quando x = 0, temos u = 1; quando x = 1, temos u = 0. A integral vira:
integral0^1 xraiz1 - x,dx = integral1^0 (1 - u)raizu(-du)

Passo 3

Invertemos os limites para remover o sinal negativo e obtemos
integral0^1 (1 - u)u^1/2,du = integral0^1 l(u^1/2 - u^3/2r),du
Agora aplicamos a regra de potência: integral u^n,du = u^n+1/(n+1).

Passo 4

Calculamos a antiderivada e avaliamos de 0 a 1:
integral0^1 u^1/2,du = u^3/23/2rvert0^1 = 23,
integral0^1 u^3/2,du = u^5/25/2rvert0^1 = 25
Subtraindo, temos 2/3 - 2/5 = 4/15.

Resposta

A integral vale 415.

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