Em cada item, descreva a região em todas as seis possíveis ordens de variações dos parâmetros.
Região delimitada pelas superfícies y=x^2, z=0 e y+2 z=4.

Passo 1

O enunciado pede para descrever a região R limitada por y = x², z = 0 e y + 2z = 4 em todas as seis possíveis ordens de integração. O conteúdo envolve geometria de regiões em R³ e definição de limites de integração para integrais triplas.

Passo 2

Identificamos as desigualdades que definem R: y ≥ x² (acima do cilindro parabólico), z ≥ 0 (acima do plano z = 0) e y + 2z ≤ 4 (abaixo do plano y + 2z = 4).

Passo 3

A partir dessas desigualdades, obtemos os intervalos globais: y ∈ [0,4], z ∈ [0,2] e x ∈ [–2,2].

Passo 4

Para montar cada ordem de integração, expressamos o limite de cada variável em função das outras duas: x em função de y (–√y ≤ x ≤ √y), x em função de z (–√(4–2z) ≤ x ≤ √(4–2z)), y em função de x e z (x² ≤ y ≤ 4–2z), y em função de z (0 ≤ y ≤ 4–2z), y em função de x (x² ≤ y ≤ 4), z em função de y (0 ≤ z ≤ (4–y)/2) e z em função de x (0 ≤ z ≤ (4–x²)/2).

Resposta

  1. Ordem dx dy dz: (x,y,z)mid -raizy<= x<= raizy,;0<= y<= 4-2z,;0<= z<= 2.
  2. Ordem dx dz dy: (x,y,z)mid -raizy<= x<= raizy,;0<= z<= tfrac4-y2,;0<= y<= 4.
  3. Ordem dy dx dz: (x,y,z)mid x^2<= y<= 4-2z,;-raiz4-2z<= x<= raiz4-2z,;0<= z<= 2.
  4. Ordem dy dz dx: (x,y,z)mid x^2<= y<= 4-2z,;0<= z<= tfrac4-x^22,;-2<= x<= 2.
  5. Ordem dz dx dy: (x,y,z)mid 0<= z<= tfrac4-y2,;-raizy<= x<= raizy,;0<= y<= 4.
  6. Ordem dz dy dx: (x,y,z)mid 0<= z<= tfrac4-y2,;x^2<= y<= 4,;-2<= x<= 2.

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