O comprimento L, a largura W e a altura H de uma caixa no formato de paralelepípedo (com tampa) variam com o tempo. Em certo instante as dimensões da caixa são:
L=1 m, W=2 m e H=2 m
Se L e W estão aumentando a uma taxa de 2 m / s e H está diminuindo à taxa de 1 m / s, então determine, neste instante, a taxa de variação do volume total da caixa em relação ao tempo.
l V(L, W, H)=L cdot W cdot H d Vd t=partial Vpartial L cdot d Ld t+partial Vpartial W cdot d Wd t+partial Vpartial H cdot d Hd t

Passo 1

O enunciado fala de uma caixa retangular cujas dimensões L, W e H variam no tempo, e pede a taxa de variação do volume V = L·W·H quando L=1
m, W=2
m, H=2
m, com dL/dt = 2
m/s, dW/dt = 2
m/s e dH/dt = –1
m/s. Vamos usar derivação implícita (regra da cadeia) para funções de várias variáveis.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, calculamos as derivadas parciais de V em relação a cada dimensão:
partial Vpartial L = Wcdot H, partial Vpartial W = Lcdot H, partial Vpartial H = Lcdot W

Passo 3

Agora escrevemos a derivada total em função dessas parciais e das taxas dadas:
dVdt = partial Vpartial LdLdt + partial Vpartial WdWdt + partial Vpartial HdHdt

Passo 4

Substituindo os valores no instante considerado:
  • Wcdot H = 2cdot2 = 4 e dL/dt = 2,
  • Lcdot H = 1cdot2 = 2 e dW/dt = 2,
  • Lcdot W = 1cdot2 = 2 e dH/dt = -1.
    Assim,
dVdt = 4times2 + 2times2 + 2times(-1) = 8 + 4 - 2 = 10

Passo 5

Portanto, a taxa de variação do volume no instante dado é positiva, indicando que o volume está aumentando.

Resposta

10 m^3/s

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