O comprimento
, a largura
e a altura
de uma caixa no formato de paralelepípedo (com tampa) variam com o tempo. Em certo instante as dimensões da caixa são:
Se
e
estão aumentando a uma taxa de
e
está diminuindo à taxa de
, então determine, neste instante, a taxa de variação do volume total da caixa em relação ao tempo.
Passo 1
O enunciado fala de uma caixa retangular cujas dimensões L, W e H variam no tempo, e pede a taxa de variação do volume V = L·W·H quando L=1
m, W=2
m, H=2
m, com dL/dt = 2
m/s, dW/dt = 2
m/s e dH/dt = –1
m/s. Vamos usar derivação implícita (regra da cadeia) para funções de várias variáveis.
m, W=2
m, H=2
m, com dL/dt = 2
m/s, dW/dt = 2
m/s e dH/dt = –1
m/s. Vamos usar derivação implícita (regra da cadeia) para funções de várias variáveis.
Passo 2
Para aplicar a regra da cadeia, calculamos as derivadas parciais de V em relação a cada dimensão:
Passo 3
Agora escrevemos a derivada total em função dessas parciais e das taxas dadas:
Passo 4
Substituindo os valores no instante considerado:
-
e , -
e , -
e .
Assim,
Passo 5
Portanto, a taxa de variação do volume no instante dado é positiva, indicando que o volume está aumentando.