Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existente) da função dada no intervalo especificado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o máximo e o mínimo absolutos da função $ f(x) = \frac{x^{2}}{x + 1} $ no intervalo de $ -\frac{1}{2} \leq x \leq 1 $. Isso está relacionado ao estudo de funções e suas propriedades na matemática, especificamente em cálculo. Para resolver, vamos precisar encontrar onde a função atinge seus valores mais altos e mais baixos dentro desse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são máximo e mínimo absolutos. O máximo absoluto é o maior valor que a função atinge no intervalo, e o mínimo absoluto é o menor valor. Para encontrar esses valores, precisamos verificar os pontos críticos da função e também os valores nos limites do intervalo.
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, vamos derivar a função $ f(x) $ e igualar a derivada a zero. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto.
Primeiro, vamos derivar $ f(x) $:
Usamos a regra do quociente para derivar:
Passo 4
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
O numerador precisa ser zero:
Então, temos duas soluções:
Passo 5
Verificamos se esses pontos estão dentro do intervalo dado $ -\frac{1}{2} \leq x \leq 1 $:
- $ x = 0 $ está dentro do intervalo.
- $ x = -2 $ está fora do intervalo.
Portanto, apenas $ x = 0 $ é um ponto crítico relevante para a nossa análise.
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
- Extremidades:
- $ x = -\frac{1}{2} $
- $ x = 1 $
- Ponto crítico:
- $ x = 0 $
Vamos calcular $ f(x) $ em cada um desses pontos:
- Para $ x = -\frac{1}{2} $:
- Para $ x = 0 $:
- Para $ x = 1 $:
Passo 7
Agora, com os valores calculados:
- $ f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} $
- $ f(0) = 0 $
- $ f(1) = \frac{1}{2} $
Podemos identificar:
- Máximo absoluto: O maior valor é $ \frac{1}{2} $, que ocorre em $ x = -\frac{1}{2} $ e $ x = 1 $.
- Mínimo absoluto: O menor valor é $ 0 $, que ocorre em $ x = 0 $.
Resposta
O máximo absoluto da função é $ \frac{1}{2} $ nos pontos $ x = -\frac{1}{2} $ e $ x = 1 $, e o mínimo absoluto é $ 0 $ no ponto $ x = 0 $.