Em cada item, desenhe a transformação de variável indicando domínio, imagem e transformação inversa. Além disso, calcule o jacobiano.
x=\operatorname{sen} u, \operatorname{com} 0 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá a transformação unidimensional
x=\sin u,
com a condição sobre a imagem 0 \leq x \leq 1. O que é pedido:
  • indicar o domínio da variável u que corresponde a essa imagem;
  • indicar a imagem (já dada: [0,1]);
  • escrever a transformação inversa u=\cdots;
  • calcular o jacobiano associado à mudança de variável (ou seja, a derivada dx/du e sua forma em termos de x).

Passo 2

Escolher o domínio de u. A função \sin u é periódica e não é injetora em todo \mathbb{R}, então precisamos escolher um intervalo de u onde \sin seja monótona (e cubra toda a imagem 0\le x\le1).
Um intervalo natural é
0\le u\le \frac{\pi}{2},
porque:
  • em [0,\tfrac{\pi}{2}] a derivada \dfrac{d}{du}\sin u=\cos u satisfaz \cos u\ge 0, logo \sin u é crescente nesse intervalo;
  • \sin 0=0 e \sin\frac{\pi}{2}=1, portanto \sin mapeia [0,\tfrac{\pi}{2}] sobre exatamente [0,1].
Assim escolhemos o domínio
u\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right],
com imagem
x\in[0,1].

Passo 3

Escrever a transformação inversa. Como em [0,\tfrac{\pi}{2}] a função \sin é bijetora sobre [0,1], a inversa é a função arco-seno restrita a essa imagem:
u=\arcsin x,\qquad x\in[0,1],
com \arcsin:[0,1]\to\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].

Passo 4

Definir e calcular o jacobiano (1D). Em uma mudança de variável unidimensional o “jacobiano” é simplesmente a derivada
\frac{dx}{du}.
Derivando x=\sin u em relação a u obtemos
\frac{dx}{du}=\cos u.
Interpretação prática: um pequeno incremento du gera um incremento dx dado por dx=\cos u\,du. Para trocas de variáveis em integrais isso é o fator que aparece.

Passo 5

Expressar o jacobiano em função de x. Como x=\sin u, tem-se
\cos u=\sqrt{1-\sin^2 u}=\sqrt{1-x^2}.
Aqui escolhemos o sinal positivo da raiz porque, no domínio u\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right], \cos u\ge 0. Portanto
\frac{dx}{du}=\cos u=\sqrt{1-x^2}.
Em termos do valor absoluto do jacobiano (útil em fórmulas gerais):
\left|\frac{dx}{du}\right|=\sqrt{1-x^2},\qquad x\in[0,1].

Passo 6

Exemplo rápido de uso (para fixar a ideia). Se quiser trocar a variável numa integral sobre x\in[0,1],
\int_{0}^{1} f(x)\,dx
fazendo x=\sin u com u\in[0,\tfrac{\pi}{2}] vira
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin u)\,\cos u\,du.
Checagem simples: para f(x)=1,
\int_{0}^{1} 1\,dx = 1
e
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos u\,du = \sin u\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=1,
concordando entre si.

Passo 7

Como desenhar a transformação (orientação para o rascunho):
  • desenhe o eixo u horizontal com marcações 0 e \tfrac{\pi}{2};
  • desenhe o eixo x vertical com marcações 0 e 1;
  • trace a curva x=\sin u entre u=0 (dá x=0) e u=\tfrac{\pi}{2} (dá x=1); a curva é crescente e suave;
  • indicar a seta u\in[0,\tfrac{\pi}{2}]\mapsto x\in[0,1] e anotar a inversa u=\arcsin x;
  • ao lado escreva o jacobiano \dfrac{dx}{du}=\cos u=\sqrt{1-x^2}.

Resposta

Domínio de u: u\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]
Imagem (em x): x\in[0,1]
Transformação inversa: u=\arcsin x, x\in[0,1]
Jacobian: \dfrac{dx}{du}=\cos u=\sqrt{1-x^2}

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