Em cada item, desenhe a transformação de variável indicando domínio, imagem e transformação inversa. Além disso, calcule o jacobiano. x=\operatorname{sen} u, \operatorname{com} 0 \leq x \leq 1.
Passo 1
O enunciado dá a transformação unidimensional
x=\sin u,
com a condição sobre a imagem 0 \leq x \leq 1. O que é pedido:
indicar o domínio da variável u que corresponde a essa imagem;
indicar a imagem (já dada: [0,1]);
escrever a transformação inversa u=\cdots;
calcular o jacobiano associado à mudança de variável (ou seja, a derivada dx/du e sua forma em termos de x).
Passo 2
Escolher o domínio de u. A função \sin u é periódica e não é injetora em todo \mathbb{R}, então precisamos escolher um intervalo de u onde \sin seja monótona (e cubra toda a imagem 0\le x\le1).
Um intervalo natural é
0\le u\le \frac{\pi}{2},
porque:
em [0,\tfrac{\pi}{2}] a derivada \dfrac{d}{du}\sin u=\cos u satisfaz \cos u\ge 0, logo \sin u é crescente nesse intervalo;
\sin 0=0 e \sin\frac{\pi}{2}=1, portanto \sin mapeia [0,\tfrac{\pi}{2}] sobre exatamente [0,1].
Assim escolhemos o domínio
u\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right],
com imagem
x\in[0,1].
Passo 3
Escrever a transformação inversa. Como em [0,\tfrac{\pi}{2}] a função \sin é bijetora sobre [0,1], a inversa é a função arco-seno restrita a essa imagem:
u=\arcsin x,\qquad x\in[0,1],
com \arcsin:[0,1]\to\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].
Passo 4
Definir e calcular o jacobiano (1D). Em uma mudança de variável unidimensional o “jacobiano” é simplesmente a derivada
\frac{dx}{du}.
Derivando x=\sin u em relação a u obtemos
\frac{dx}{du}=\cos u.
Interpretação prática: um pequeno incremento du gera um incremento dx dado por dx=\cos u\,du. Para trocas de variáveis em integrais isso é o fator que aparece.
Passo 5
Expressar o jacobiano em função de x. Como x=\sin u, tem-se
\cos u=\sqrt{1-\sin^2 u}=\sqrt{1-x^2}.
Aqui escolhemos o sinal positivo da raiz porque, no domínio u\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right], \cos u\ge 0. Portanto
\frac{dx}{du}=\cos u=\sqrt{1-x^2}.
Em termos do valor absoluto do jacobiano (útil em fórmulas gerais):