Em cada item, desenhe a transformação de variável indicando domínio, imagem e transformação inversa. Além disso, calcule o jacobiano. x=\frac{u-1}{2}, com 1 \leq x \leq 3.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação unidimensional
x=\frac{u-1}{2},
e informa a condição sobre x:
1 \leq x \leq 3.
O que é pedido:
indicar o domínio e a imagem da transformação (ou seja, o conjunto de valores de u que correspondem à faixa de x dada e o conjunto de valores de x resultante);
determinar a transformação inversa;
calcular o jacobiano (determinante da matriz jacobiana) dessa mudança de variável.
Passo 2
Encontrar a transformação inversa (passo algébrico):
a transformação é uma função linear entre u e x. Para achar a inversa, resolvemos a expressão por u. Partimos de
x=\frac{u-1}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2 obtemos
2x = u-1.
Somando 1 a ambos os lados:
u = 2x + 1.
Portanto a transformação inversa é
u = 2x + 1.
Explicação didática: inverter uma relação linear do tipo x=a u + b é isolar u na equação; aqui a=\tfrac{1}{2} e b=-\tfrac{1}{2}, então a inversa tem coeficiente 1/a=2 e deslocamento ajustado.
Passo 3
Determinar domínio em u que corresponde à condição dada em x.
Sabemos que x varia no intervalo [1,3]. Usamos a inversa u=2x+1 para mapear os extremos:
para x=1:
u = 2\cdot 1 + 1 = 3.
para x=3:
u = 2\cdot 3 + 1 = 7.
Como a função é linear e monótona crescente (coeficiente 2>0), os extremos mapeiam diretamente e o conjunto de u correspondente é o intervalo fechado
3 \leq u \leq 7.
Interpretação: se escolhermos como domínio do parâmetro u exatamente o intervalo [3,7], a imagem pela transformação x=(u-1)/2 será precisamente [1,3].
Passo 4
Calcular o jacobiano. Em transformações unidimensionais o “jacobiano” é o determinante da matriz jacobiana 1\times1, ou seja, a derivada da transformação (ou da transformação direta) em relação à variável de partida.
Aqui a transformação direta é x(u)=\dfrac{u-1}{2}. Calculamos a derivada de x em relação a u:
Portanto o jacobiano (determinante da jacobiana) é
J = \frac{dx}{du} = \frac{1}{2}.
Observações importantes e uso prático:
Para mudança de variável em integrais, usa-se dx = \dfrac{dx}{du}\,du. Aqui
dx = \frac{1}{2}\,du.
A derivada da inversa satisfaz \dfrac{du}{dx}=2, que é o recíproco de \dfrac{dx}{du}. Em termos de módulos, \left|\dfrac{dx}{du}\right|=\tfrac{1}{2} é o fator de escala de comprimentos (ou de medida) quando se passa de u-intervalos para x-intervalos.
Passo 5
“Desenho” e descrição geométrica da transformação (modo texto):
Em u-reta: considere o intervalo [3,7].
Aplicando x=\dfrac{u-1}{2} cada ponto u é levado a um ponto x pela operação “subtrai 1 e divide por 2”: é uma homotetia (escala) com fator \tfrac{1}{2} seguida de uma translação.
A imagem é a reta-intervalo [1,3] em x.
Exemplo numérico para visualizar: se u=5 então
x=\frac{5-1}{2}=2,
ou seja, o ponto médio u=5 vai para o ponto médio x=2.
Resumo do comportamento: a transformação comprime os comprimentos pela metade e desloca por -\tfrac{1}{2} em termos relativos (essa combinação resulta na forma apresentada), mapeando linearmente [3,7] em [1,3].
Resposta
Transformação inversa: u=2x+1
Domínio em u: [3,7] (correspondente a 1\le x\le 3)
Imagem em x: [1,3]
Jacobiano: J=\dfrac{dx}{du}=\dfrac{1}{2}