Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{5^{n}}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{5^{n}}
Passo 1
O enunciado fornece a série
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente; se for convergente, encontrar a soma. Informação relevante que temos:
- O termo geral da sequência associada à série é
. - A pergunta principal: a série
converge? Se sim, qual é a soma?
Passo 2
Regra básica (teste necessário): se uma série
converge, então o termo geral
deve tender a zero, isto é, deve valer
Se
(incluindo
), então a série diverge imediatamente. Vamos analisar
.
Passo 3
Calculemos a razão entre termos consecutivos, isso ajuda a ver o comportamento de
:
Esse quociente cresce com
. Em particular,
Passo 4
Interpretação do resultado do passo anterior:
- Como
torna-se maior que para suficientemente grande (por exemplo para todo tem ), os termos a partir de certo índice são estritamente crescentes. - Se os termos
aumentam (e a razão tende a ), então claramente não tende a ; na verdade . - Pelo teste necessário citado no Passo 2, isso implica que a série não pode convergir.
Passo 5
Comentário didático sobre o uso do teste da razão: o teste da razão diz que, se
existe e
, então a série converge absolutamente; se
(ou
), então a série diverge. No nosso caso
, portanto a série diverge pelo teste da razão. Alternativamente, já bastaria observar que o termo geral não tende a zero, o que já garante divergência.
Resposta
A série diverge.