Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado fornece a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n}}
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente; se for convergente, encontrar a soma. Informação relevante que temos:
  • O termo geral da sequência associada à série é a_n=\dfrac{n!}{5^n}.
  • A pergunta principal: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge? Se sim, qual é a soma?

Passo 2

Regra básica (teste necessário): se uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então o termo geral a_n deve tender a zero, isto é, deve valer
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (incluindo \pm\infty), então a série diverge imediatamente. Vamos analisar \lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 3

Calculemos a razão entre termos consecutivos, isso ajuda a ver o comportamento de a_n:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\dfrac{(n+1)!}{5^{\,n+1}}}{\dfrac{n!}{5^{\,n}}}=\frac{n+1}{5}.
Esse quociente cresce com n. Em particular,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{5}=+\infty.

Passo 4

Interpretação do resultado do passo anterior:
  • Como \dfrac{a_{n+1}}{a_n} torna-se maior que 1 para n suficientemente grande (por exemplo para todo n\ge 6 tem \dfrac{n+1}{5}\ge \tfrac{7}{5}>1), os termos a_n a partir de certo índice são estritamente crescentes.
  • Se os termos a_n aumentam (e a razão tende a +\infty), então claramente a_n não tende a 0; na verdade a_n\to+\infty.
  • Pelo teste necessário citado no Passo 2, isso implica que a série não pode convergir.

Passo 5

Comentário didático sobre o uso do teste da razão: o teste da razão diz que, se L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} existe e L<1, então a série converge absolutamente; se L>1 (ou L=+\infty), então a série diverge. No nosso caso L=+\infty>1, portanto a série diverge pelo teste da razão. Alternativamente, já bastaria observar que o termo geral não tende a zero, o que já garante divergência.

Resposta

A série diverge.

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