Em cada item deste exercício são dados um espaço vetorial V e um subconjunto W de V. Verifique se W é um subespaço vetorial de V.
V=\left(\mathbb{R}^{2},+,.\right) ; W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / x \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V = \bigl(\mathbb{R}^2,+,\cdot\bigr)
e
W = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 0\}
fazem de W um subespaço de V. O conteúdo envolve a definição de subespaço vetorial: precisamos checar que
  1. W\neq\emptyset (ou equivalente, 0\in W),
  2. W é fechado sob adição,
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero de \mathbb{R}^2 está em W. De fato,
0_{V} = (0,0),
e como 0\ge 0, temos (0,0)\in W. Logo, W\neq\emptyset.

Passo 3

Testamos a adição: tomemos quaisquer (x_1,y_1) e (x_2,y_2) em W. Então x_1\ge 0 e x_2\ge 0. A soma é
(x_1,y_1)+(x_2,y_2) = (\,x_1+x_2,\;y_1+y_2\,).
Como x_1+x_2\ge 0, segue (x_1+x_2,y_1+y_2)\in W. Portanto, W é fechado sob adição.

Passo 4

Testamos a multiplicação escalar: seja \lambda=-1 e escolha (x,y)=(1,0)\in W, pois 1\ge0. Então
\lambda\,(1,0) = (-1,0),
e aqui -1\not\ge0, ou seja (-1,0)\notin W. Assim, W não é fechado sob multiplicação por escalares.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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