Em cada item deste exercício são dados um espaço vetorial V e um subconjunto W de V. Verifique se W é um subespaço vetorial de V.
V=\left(\mathbb{R}^{2},+,.\right) ; W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / y \in \mathbb{Q}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se V=(\mathbb{R}^2,+,\cdot)
e
W = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\in\mathbb{Q}\}
fazem de W um subespaço de V.
Para isso, precisamos checar três propriedades:
  1. W não é vazio (normalmente mostrando que \mathbf{0}\in W).
  2. Fechamento em relação à adição: se u,v\in W, então u+v\in W.
  3. Fechamento em relação à multiplicação escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha u\in W.

Passo 2

Verificamos o vetor zero em \mathbb{R}^2:
\mathbf{0} = (0,0).
Como a segunda componente é 0 e 0\in\mathbb{Q}, temos \mathbf{0}\in W. Logo, W não é vazio.

Passo 3

Fechamento em relação à adição. Tomemos
u=(x_1,y_1),\quad v=(x_2,y_2)\in W.
Por hipótese, y_1\in\mathbb{Q} e y_2\in\mathbb{Q}. Então a soma
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2)
tem segunda componente y_1+y_2, que é racional (pois \mathbb{Q} é fechado sob soma). Logo u+v\in W.

Passo 4

Fechamento em relação à multiplicação escalar. Tomemos
u=(x,y)\in W,\quad\alpha\in\mathbb{R}.
Sabemos y\in\mathbb{Q}. Para \alpha u = (\alpha x,\;\alpha y) pertencer a W, seria preciso \alpha y\in\mathbb{Q}. Mas se escolhermos, por exemplo, \alpha=\sqrt{2} (irracional) e y=1, obtemos
\alpha y = \sqrt{2}\cdot1 = \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}.
Portanto \alpha u\notin W nesse caso, mostrando que W não é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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