Em cada item deste exercício são dados um espaço vetorial V e um subconjunto W de V. Verifique se W é um subespaço vetorial de V.
V=\left(\mathbb{R}^{3},+,.\right) ; W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x+3 y=z\right\}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial usual V = \mathbb{R}^3 com adição e multiplicação escalar usuais, e o subconjunto
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x + 3y = z\}.
Para mostrar que W é subespaço de V, precisamos verificar três propriedades:
  1. O vetor zero de V pertence a W.
  2. W é fechado sob adição.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se (0,0,0) pertence a W. Para isso observamos
0 + 3\cdot 0 = 0,
logo (0,0,0) satisfaz a condição x+3y=z. Portanto o vetor zero de V está em W.

Passo 3

Sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2) em W. Então
x_1 + 3y_1 = z_1 \quad\text{e}\quad x_2 + 3y_2 = z_2.
A soma é \mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2). Verificamos a condição em W:
(x_1+x_2) + 3(y_1+y_2) = (x_1+3y_1) + (x_2+3y_2) = z_1 + z_2,
que é justamente a terceira componente de \mathbf{u}+\mathbf{v}. Logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W, garantindo fechamento sob adição.

Passo 4

Seja \lambda\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1)\in W com x_1+3y_1=z_1. Então
\lambda\mathbf{u} = (\lambda x_1,\;\lambda y_1,\;\lambda z_1)
e
\lambda x_1 + 3(\lambda y_1) = \lambda(x_1+3y_1) = \lambda z_1,
que coincide com a terceira componente de \lambda\mathbf{u}. Assim \lambda\mathbf{u}\in W, garantindo fechamento sob multiplicação escalar.

Resposta

W é um subespaço vetorial de V.

Exercícios relacionados