Em cada item deste exercício são dados um espaço vetorial
e um subconjunto
de
. Verifique se
é um subespaço vetorial de
.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
e
e
fazem de
um subespaço de
.
Para isso, precisamos checar três propriedades:
Para isso, precisamos checar três propriedades:
-
não é vazio (normalmente mostrando que ). - Fechamento em relação à adição: se
, então . - Fechamento em relação à multiplicação escalar: se
e , então .
Passo 2
Verificamos o vetor zero em
:
Como a segunda componente é
e
, temos
. Logo,
não é vazio.
Passo 3
Fechamento em relação à adição. Tomemos
Por hipótese,
e
. Então a soma
tem segunda componente
, que é racional (pois
é fechado sob soma). Logo
.
Passo 4
Fechamento em relação à multiplicação escalar. Tomemos
Sabemos
. Para
pertencer a
, seria preciso
. Mas se escolhermos, por exemplo,
(irracional) e
, obtemos
Portanto
nesse caso, mostrando que
não é fechado sob multiplicação escalar.