Em cada ítem deste exercício são dados um espaço vetorial
e um subconjunto
de
. Verifique se
é subespaço vetorial
.
;
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com as operações usuais, e o subconjunto
Para que
seja subespaço de
, precisamos verificar três propriedades:
-
e contém o vetor zero. -
é fechado em relação à soma de vetores. -
é fechado em relação à multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
está em
.
Como
Como
então
e
não é vazio.
Passo 3
Testamos a fechadura sob adição. Seja
Como
temos
e
. Mas
e
logo
. Portanto
não é fechado sob soma.
Passo 4
Testamos a fechadura sob multiplicação escalar. Seja
e
. Então
e
logo
. Portanto
também não é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 5
Como
falha pelo menos em uma das propriedades (fechadura sob soma e multiplicação escalar), concluímos que
não é subespaço vetorial de
.