Em cada ítem deste exercício são dados um espaço vetorial V e um subconjunto W de V. Verifique se W é subespaço vetorial V.
V=(R^3,+, , R) W=(x, y, z) in R^3 ; x+y+z <= 1;

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial
V = R^3
com as operações usuais, e o subconjunto
W = (x,y,z)inR^3 mid x+y+z <= 1
Para que W seja subespaço de V, precisamos verificar três propriedades:
  1. Wneqemptyset e contém o vetor zero.
  2. W é fechado em relação à soma de vetores.
  3. W é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) está em W.
Como
0 + 0 + 0 = 0 <= 1,
então (0,0,0)in W e W não é vazio.

Passo 3

Testamos a fechadura sob adição. Seja
u = (1,0,0), v = (1,0,0)
Como
1 + 0 + 0 = 1 <= 1,
temos uin W e vin W. Mas
u + v = (2,0,0),
e
2 + 0 + 0 = 2 not<= 1,
logo u+vnotin W. Portanto W não é fechado sob soma.

Passo 4

Testamos a fechadura sob multiplicação escalar. Seja
w=(1,0,0)in W
e lambda=2. Então
lambda w = (2,0,0),
e
2 + 0 + 0 = 2 not<= 1,
logo lambda wnotin W. Portanto W também não é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 5

Como W falha pelo menos em uma das propriedades (fechadura sob soma e multiplicação escalar), concluímos que W não é subespaço vetorial de V.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

Exercícios relacionados