Em cada ítem deste exercício são dados um espaço vetorial V e um subconjunto W de V. Verifique se W é subespaço vetorial V.
V=(R^3,+, , R) W=(x, y, z) in R^3 ; x+y+z=0;

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial
,V=(R^3,+,cdot,R)
e o subconjunto
,W=(x,y,z)inR^3 mid x+y+z=0.
Para mostrar que W é subespaço de V basta verificar três propriedades:
  1. 0in W.
  2. Fechamento em relação à soma: se u,vin W, então u+vin W.
  3. Fechamento em relação à multiplicação escalar: se uin W e alphainR, então alpha uin W.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero de R^3 é 0=(0,0,0). Como
0+0+0=0,
seguindo a definição de W concluímos que 0in W.

Passo 3

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em W. Então
x1+y1+z1=0 e x2+y2+z2=0
O vetor soma é
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e a soma de suas componentes é
(x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2) =(x1+y1+z1)+(x2+y2+z2) =0+0=0
Logo u+vin W, provando o fechamento pela soma.

Passo 4

Seja u=(x,y,z)in W e alphainR. Como x+y+z=0, o vetor
alpha u=(alpha x,alpha y,alpha z)
tem soma de componentes
alpha x+alpha y+alpha z =alpha,(x+y+z) =alphacdot 0 =0
Portanto alpha uin W, mostrando o fechamento pela multiplicação escalar.

Passo 5

Já que W contém o vetor zero e é fechado sob soma e produto escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de V.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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