Mostre que os seguintes subconjuntos de
são subespaços de
.
;
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrarmos que
é subespaço de
. Para isso, vamos usar a definição de subespaço vetorial, que exige três coisas:
-
não é vazio (contém o vetor zero); -
é fechado sob adição; -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificar que o vetor zero
está em
. Basta checar a equação de definição:
Como esta identidade é verdadeira,
, portanto
não é vazio.
Passo 3
Verificar a clausura sob adição. Tomemos dois vetores arbitrários em
, digamos
Pelo fato de pertencerem a
, temos
Considere
. Então
Logo
, ou seja,
é fechado sob adição.
Passo 4
Verificar a clausura sob multiplicação escalar. Seja
e
, de modo que
Considere
. Então
Portanto
, mostrando que
é fechado sob multiplicação escalar.