Mostre que os seguintes subconjuntos de R^4 são subespaços de R^4.
W=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y-3 z=0;

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z,t)inR^4 mid x - y - 3z = 0
e pede para mostrarmos que W é subespaço de R^4. Para isso, vamos usar a definição de subespaço vetorial, que exige três coisas:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero);
  2. W é fechado sob adição;
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar que o vetor zero (0,0,0,0) está em W. Basta checar a equação de definição:
0 - 0 - 3cdot 0 = 0
Como esta identidade é verdadeira, (0,0,0,0)in W, portanto W não é vazio.

Passo 3

Verificar a clausura sob adição. Tomemos dois vetores arbitrários em W, digamos
u=(x1,y1,z1,t1)in W, v=(x2,y2,z2,t2)in W
Pelo fato de pertencerem a W, temos
x1 - y1 - 3z1 = 0 e x2 - y2 - 3z2 = 0
Considere u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;t1+t2). Então
(x1+x2) - (y1+y2) - 3(z1+z2) = (x1 - y1 - 3z1) + (x2 - y2 - 3z2) = 0 + 0 = 0
Logo u+vin W, ou seja, W é fechado sob adição.

Passo 4

Verificar a clausura sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e u=(x,y,z,t)in W, de modo que
x - y - 3z = 0
Considere lambda u = (lambda x,;lambda y,;lambda z,;lambda t). Então
lambda x - lambda y - 3(lambda z) = lambda,(x - y - 3z) = lambdacdot 0 = 0
Portanto lambda uin W, mostrando que W é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

W satisfaz os três critérios de subespaço (não vazio, fechado em soma e em produto escalar). Logo, W é de fato um subespaço de R^4.

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