Exercício 16. Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x e y.
\left\{\begin{aligned} 4 x+y & =-1 \\\ a x+3 y & =6 \end{aligned}\right.
(a) Determine o valor do coeficiente a que torna esse sistema impossível (sem solução).
(b) Dê exemplo de um valor do coeficiente a para que o sistema tenha como solução as coordenadas de um ponto no segundo quadrante. Qual é a solução do sistema nesse caso?
(c) Dê exemplo de um valor do coeficiente a para que o sistema tenha como solução as coordenadas de um ponto no terceiro quadrante. Qual é a solução do sistema nesse caso?
(d) Dê exemplo de um valor do coeficiente a para que o sistema tenha como solução as coordenadas de um ponto no quarto quadrante. Qual é a solução do sistema nesse caso?
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema linear nas incógnitas x\) e \(y\):
\[\begin{cases} 4x + y = -1,\\\ a x + 3y = 6. \end{cases}
O conteúdo envolve determinar quando o sistema é impossível (sem solução) e, para outros valores de a\], escolher exemplos de \(a de modo que a solução (x,y) caia em cada um dos quadrantes II, III e IV do plano cartesiano. Vamos usar determinantes (Regra de Cramer) e análise de sinal.
Passo 2
Calculamos o determinante principal D:
D = \begin{vmatrix}4 & 1\\[6pt]a & 3\end{vmatrix} = 4\cdot 3 - 1\cdot a = 12 - a.
O sistema é impossível se as retas forem paralelas e não coincidentes, o que ocorre exatamente quando D=0 e os vetores dos termos independentes não forem proporcionais. Logo,
D=0\implies 12 - a = 0\implies a = 12.
Para a=12 as duas equações têm coeficientes proporcionais mas termos constantes distintos, dando sistema sem solução.]
Passo 3
Para a\neq 12 o sistema tem solução única, dada por Cramer: