Exercício 16. Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x e y.
\left\{\begin{aligned} 4 x+y & =-1 \\\ a x+3 y & =6 \end{aligned}\right.
(a) Determine o valor do coeficiente a que torna esse sistema impossível (sem solução).
(b) Dê exemplo de um valor do coeficiente a para que o sistema tenha como solução as coordenadas de um ponto no segundo quadrante. Qual é a solução do sistema nesse caso?
(c) Dê exemplo de um valor do coeficiente a para que o sistema tenha como solução as coordenadas de um ponto no terceiro quadrante. Qual é a solução do sistema nesse caso?
(d) Dê exemplo de um valor do coeficiente a para que o sistema tenha como solução as coordenadas de um ponto no quarto quadrante. Qual é a solução do sistema nesse caso?

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear nas incógnitas x\) e \(y\): \[\begin{cases} 4x + y = -1,\\\ a x + 3y = 6. \end{cases}
O conteúdo envolve determinar quando o sistema é impossível (sem solução) e, para outros valores de a\], escolher exemplos de \(a de modo que a solução (x,y) caia em cada um dos quadrantes II, III e IV do plano cartesiano. Vamos usar determinantes (Regra de Cramer) e análise de sinal.

Passo 2

Calculamos o determinante principal D:
D = \begin{vmatrix}4 & 1\\[6pt]a & 3\end{vmatrix} = 4\cdot 3 - 1\cdot a = 12 - a.
O sistema é impossível se as retas forem paralelas e não coincidentes, o que ocorre exatamente quando D=0 e os vetores dos termos independentes não forem proporcionais. Logo,
D=0\implies 12 - a = 0\implies a = 12.
Para a=12 as duas equações têm coeficientes proporcionais mas termos constantes distintos, dando sistema sem solução.]

Passo 3

Para a\neq 12 o sistema tem solução única, dada por Cramer:
x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D},
onde
D_x = \begin{vmatrix}-1 & 1\\[3pt]6 & 3\end{vmatrix} = (-1)\cdot 3 - 1\cdot 6 = -9,
D_y = \begin{vmatrix}4 & -1\\[3pt]a & 6\end{vmatrix} = 4\cdot 6 - (-1)\cdot a = 24 + a.
Portanto
x = \frac{-9}{12 - a},\qquad y = \frac{a + 24}{12 - a}.]

Passo 4

Para obter solução no segundo quadrante devemos ter x<0 e y>0.
  • x<0 implica \frac{-9}{12-a}<0, ou seja, 12-a>0\implies a<12.
  • y>0 implica \frac{a+24}{12-a}>0. Como 12-a>0, basta a+24>0\implies a>-24.
    Logo qualquer a\in(-24,12) funciona. Exemplo: a=0.
    Nesse caso
x = \frac{-9}{12} = -\tfrac{3}{4},\qquad y = \frac{24}{12} = 2,
que de fato está no quadrante II.

Passo 5

Para o terceiro quadrante precisamos x<0 e y<0.
  • x<0 a<12.
  • y<0 com 12-a>0 exige a+24<0\implies a<-24.
    Assim qualquer a<-24 serve. Exemplo: a=-30.
    Então
x = \frac{-9}{12 - (-30)} = \frac{-9}{42} = -\tfrac{3}{14},\quad y = \frac{-30+24}{42} = -\tfrac{6}{42} = -\tfrac{1}{7},
que fica no quadrante III.

Passo 6

Para o quarto quadrante queremos x>0 e y<0.
  • x>0 exige \frac{-9}{12-a}>0\implies 12-a<0\implies a>12.
  • y<0 com 12-a<0 requer a+24>0\implies a>-24.
    Logo qualquer a>12 funciona. Exemplo: a=13.
    Nesse caso
x = \frac{-9}{12-13} = 9,\qquad y = \frac{13+24}{12-13} = -37,
ficando no quadrante IV.

Resposta

(a) a = 12.
(b) Por exemplo a=0, solução \bigl(-\tfrac{3}{4},2\bigr).
(c) Por exemplo a=-30, solução \bigl(-\tfrac{3}{14},-\tfrac{1}{7}\bigr).
(d) Por exemplo a=13, solução \bigl(9,-37\bigr).

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