Em cada item determinar se os sistemas descritos são grupos. No caso negativo dizer quais dos axiomas de grupos não valem.
G=a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{6}, onde
a_{i} \cdot a_{j}=a_{i+j} se i+j<7
a_{i} \cdot a_{j}=a_{i+j-7} se i+j \geqq 7
(por exemplo, a_{5} \cdot a_{4}=a_{5+4-7}=a_{2} pois 5+4=9>7 ).

Passo 1

O enunciado dá um conjunto G=\{a_{0},a_{1},\dots,a_{6}\} com uma operação \cdot definida por soma de índices modulo 7. Especificamente:
  • Se i+j<7 então a_{i}\cdot a_{j}=a_{i+j}.
  • Se i+j\geqq7 então a_{i}\cdot a_{j}=a_{i+j-7}.
    Um exemplo fornecido: a_{5}\cdot a_{4}=a_{5+4-7}=a_{2}.
A pergunta que preciso responder: determinar se o par (G,\cdot) é um grupo. Se não for, indicar quais axiomas de grupo não valem. Se for, mostrar por quê (passo a passo).

Passo 2

Lembrando (aqui vou ensinar devagar): para decidir se (G,\cdot) é um grupo preciso verificar quatro propriedades fundamentais (vou explicá-las e checar uma a uma):
  1. Fechamento: para quaisquer x,y\in G, o produto x\cdot y está em G.
  2. Associatividade: para quaisquer x,y,z\in G, (x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y\cdot z).
  3. Elemento neutro (identidade): existe e\in G tal que para todo x\in G vale e\cdot x = x\cdot e = x.
  4. Inversos: para cada x\in G existe x^{-1}\in G tal que x\cdot x^{-1} = x^{-1}\cdot x = e.
Vou checar cada item usando a definição por índices (adição módulo 7). É útil observar que a regra dada é exatamente a adição de índices tomada módulo 7: para quaisquer i,j definimos
a_i\cdot a_j = a_{(i+j)\bmod 7},
onde (i+j)\bmod 7 é o resto da divisão de i+j por 7.

Passo 3

Fechamento significa: ao multiplicar dois elementos de G o resultado ainda é um elemento de G.
  • Tome quaisquer a_i,a_j\in G com i,j\in\{0,1,\dots,6\}.
  • Pela regra, a_i\cdot a_j = a_{(i+j)\bmod 7}.
  • O índice (i+j)\bmod 7 está entre 0 e 6, logo a_{(i+j)\bmod 7}\in G.
    Conclusão: a operação é fechada em G.

Passo 4

Associatividade é a parte que normalmente assusta, mas aqui fica simples porque a operação reduz à adição de números inteiros seguida de aplicação do resto módulo 7. Vou mostrar passo a passo:
Queremos provar que para quaisquer i,j,k\in\{0,\dots,6\} vale
(a_i\cdot a_j)\cdot a_k = a_i\cdot (a_j\cdot a_k).
Usando a definição:
  • O lado esquerdo é
(a_i\cdot a_j)\cdot a_k = a_{(i+j)\bmod 7}\cdot a_k = a_{((i+j)\bmod 7 + k)\bmod 7}.
  • O lado direito é
a_i\cdot (a_j\cdot a_k) = a_i\cdot a_{(j+k)\bmod 7} = a_{(i + (j+k)\bmod 7)\bmod 7}.
Agora uma observação fundamental (a peça chave): a adição inteira é associativa, isto é, para inteiros i,j,k vale (i+j)+k = i+(j+k). Quando se aplica o operador "resto módulo 7" depois, o resultado também coincide porque
((i+j)\bmod 7 + k)\bmod 7 \equiv (i+j+k)\bmod 7 \equiv (i + (j+k)\bmod 7)\bmod 7.
Em palavras: reduzir parcialmente por módulo antes ou depois não altera o resultado final do resto de i+j+k por 7. Portanto ambos os lados são a_{(i+j+k)\bmod 7}, implicando
(a_i\cdot a_j)\cdot a_k = a_i\cdot (a_j\cdot a_k)
para quaisquer índices. Logo a operação é associativa.
(Na prova: justificar que associatividade da soma inteira passa para a operação "soma de índices módulo n".)

Passo 5

Procuro e\in G tal que para todo i tenhamos e\cdot a_i = a_i\cdot e = a_i.
  • Teste natural: tente e=a_0. Calcule
a_0\cdot a_i = a_{(0+i)\bmod 7} = a_i, \qquad a_i\cdot a_0 = a_{(i+0)\bmod 7} = a_i.
Portanto a_0 é identidade à esquerda e à direita. Concluímos que o elemento neutro é a_0.

Passo 6

Agora preciso mostrar que para cada a_i\in G existe um a_j\in G com a_i\cdot a_j = a_j\cdot a_i = a_0.
Usando a descrição por índices, queremos j tal que (i+j)\bmod 7 = 0. Para inteiros isso significa que i+j é múltiplo de 7. Uma solução natural (e única dentro de \{0,\dots,6\}) é
j \equiv -i \pmod 7 \quad\text{ou}\quad j = (7-i)\bmod 7.
Especificamente:
  • Se i=0 então j=0 e a_0 é seu próprio inverso.
  • Para 1\le i\le 6 tomamos j=7-i (que fica entre 1 e 6). Então
a_i\cdot a_{7-i} = a_{(i + (7-i))\bmod 7} = a_{7\bmod 7} = a_0,
e simetricamente a_{7-i}\cdot a_i = a_0.
Logo todo elemento tem inverso em G.

Passo 7

Tendo verificado:
  • fechamento,
  • associatividade,
  • existência de identidade a_0,
  • existência de inversos para todos os elementos,
concluímos que (G,\cdot) satisfaz todos os axiomas de grupo. Além disso, a operação é comutativa porque i+j = j+i implica
a_i\cdot a_j = a_{(i+j)\bmod 7} = a_{(j+i)\bmod 7} = a_j\cdot a_i.
Portanto é um grupo abeliano (comutativo) de ordem 7 — é exatamente o grupo cíclico de ordem 7, normalmente denotado por \mathbb{Z}_7 sob adição, mas aqui apresentado com símbolos a_i.

Passo 8

  • O exemplo do enunciado: a_{5}\cdot a_{4} = a_{(5+4)\bmod 7} = a_{9\bmod 7} = a_2 — bate com o enunciado.
  • Inverso de a_3 é a_{4}, pois 3+4=7 e a_3\cdot a_4=a_0.
  • Produto a_6\cdot a_6 = a_{12\bmod 7} = a_5.
Esses pequenos cálculos mostram na prática as regras que provamos acima.

Resposta

O conjunto G=\{a_0,a_1,\dots,a_6\} com a operação dada é um grupo (de fato um grupo cíclico abeliano de ordem 7).

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