Em cada item determinar se os sistemas descritos são grupos. No caso negativo dizer quais dos axiomas de grupos não valem.
, onde
se
se
(por exemplo,
pois
).
(por exemplo,
Passo 1
O enunciado dá um conjunto
com uma operação
definida por soma de índices modulo
. Especificamente:
- Se
então . - Se
então .
Um exemplo fornecido:.
A pergunta que preciso responder: determinar se o par
é um grupo. Se não for, indicar quais axiomas de grupo não valem. Se for, mostrar por quê (passo a passo).
Passo 2
Lembrando (aqui vou ensinar devagar): para decidir se
é um grupo preciso verificar quatro propriedades fundamentais (vou explicá-las e checar uma a uma):
- Fechamento: para quaisquer
, o produto está em . - Associatividade: para quaisquer
, . - Elemento neutro (identidade): existe
tal que para todo vale . - Inversos: para cada
existe tal que .
Vou checar cada item usando a definição por índices (adição módulo
). É útil observar que a regra dada é exatamente a adição de índices tomada módulo
: para quaisquer
definimos
onde
é o resto da divisão de
por
.
Passo 3
Fechamento significa: ao multiplicar dois elementos de
o resultado ainda é um elemento de
.
- Tome quaisquer
com . - Pela regra,
. - O índice
está entre e , logo .
Conclusão: a operação é fechada em.
Passo 4
Associatividade é a parte que normalmente assusta, mas aqui fica simples porque a operação reduz à adição de números inteiros seguida de aplicação do resto módulo
. Vou mostrar passo a passo:
Queremos provar que para quaisquer
vale
Usando a definição:
- O lado esquerdo é
- O lado direito é
Agora uma observação fundamental (a peça chave): a adição inteira é associativa, isto é, para inteiros
vale
. Quando se aplica o operador "resto módulo
" depois, o resultado também coincide porque
Em palavras: reduzir parcialmente por módulo antes ou depois não altera o resultado final do resto de
por
. Portanto ambos os lados são
, implicando
para quaisquer índices. Logo a operação é associativa.
(Na prova: justificar que associatividade da soma inteira passa para a operação "soma de índices módulo
".)
Passo 5
Procuro
tal que para todo
tenhamos
.
- Teste natural: tente
. Calcule
Portanto
é identidade à esquerda e à direita. Concluímos que o elemento neutro é
.
Passo 6
Agora preciso mostrar que para cada
existe um
com
.
Usando a descrição por índices, queremos
tal que
. Para inteiros isso significa que
é múltiplo de
. Uma solução natural (e única dentro de
) é
Especificamente:
- Se
então e é seu próprio inverso. - Para
tomamos (que fica entre e ). Então
e simetricamente
.
Logo todo elemento tem inverso em
.
Passo 7
Tendo verificado:
- fechamento,
- associatividade,
- existência de identidade
, - existência de inversos para todos os elementos,
concluímos que
satisfaz todos os axiomas de grupo. Além disso, a operação é comutativa porque
implica
Portanto é um grupo abeliano (comutativo) de ordem
— é exatamente o grupo cíclico de ordem
, normalmente denotado por
sob adição, mas aqui apresentado com símbolos
.
Passo 8
- O exemplo do enunciado:
— bate com o enunciado. - Inverso de
é , pois e . - Produto
.
Esses pequenos cálculos mostram na prática as regras que provamos acima.
Resposta
O conjunto
com a operação dada é um grupo (de fato um grupo cíclico abeliano de ordem
).