Em cada item, determine uma base e a dimensão do subespaço vetorial W de V.
V=P3(R) e W=[t^3+t^2, t^2-2 t, 1].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço
W = lang<=,t^3+t^2,;t^2-2t,;1,rang<=
no espaço vetorial V=P3(R). Para isso vamos usar o conceito de base (geradores linearmente independentes) e dimensão (número de vetores dessa base).

Passo 2

Escolhemos a base canônica de P3(R), que é t^3,t^2,t,1, e escrevemos os polinômios geradores de W como vetores de coordenadas nessa base:
P1=t^3+t^2longmapsto(1,1,0,0), P2=t^2-2tlongmapsto(0,1,-2,0), P3=1longmapsto(0,0,0,1)

Passo 3

Analisamos a independência linear dos vetores (1,1,0,0), (0,1,-2,0) e (0,0,0,1). Se
alpha(1,1,0,0)+beta(0,1,-2,0)+gamma(0,0,0,1)=(0,0,0,0),
pelas coordenadas vemos imediatamente gamma=0 (único que atua na quarta posição), depois alpha=0 (único que atua na primeira posição) e finalmente beta=0. Logo são linearmente independentes.

Passo 4

Como os três geradores são independentes, eles formam uma base de W. A dimensão de W é o número de vetores dessa base, ou seja, 3.

Resposta

Uma base de W é
,t^3+t^2,;t^2-2t,;1,
e dim(W)=3.

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