Em cada item, determine uma base e a dimensão do subespaço vetorial W de V.
V=R^4 e W=(x, y, z, w) in V ; z=w e y=2 x.

Passo 1

O enunciado dá o espaço V=R^4 e o subespaço
W=(x,y,z,w)inR^4 mid y=2x,;z=w
O que precisamos é encontrar uma base de W e sua dimensão. Para isso vamos usar o fato de que resolver sistemas lineares homogêneos equivale a parametrizar as variáveis livres e escrever os vetores como combinação linear de vetores geradores.

Passo 2

Das condições y=2x e z=w vemos que as variáveis x e w são livres; as demais são determinadas por
y=2x, z=w
Definimos parâmetros t e s tais que
x=t, w=s

Passo 3

Substituindo na forma geral (x,y,z,w) obtemos
(x,y,z,w)=(t,;2t,;s,;s)
Agora separamos em combinação linear de t e s:
(t,2t,s,s)=t,(1,2,0,0);+;s,(0,0,1,1)

Passo 4

Isso mostra que todo vetor de W é combinação linear dos vetores
v1=(1,2,0,0), v2=(0,0,1,1)
Além disso v1 e v2 são linearmente independentes (nem um é múltiplo do outro), logo formam uma base de W. Como a base tem dois vetores, dim(W)=2.

Resposta

Uma base de W é
(1,2,0,0),,(0,0,1,1),
e dim(W)=2.

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